114年 - 114 臺北市立成淵高級中學_正式教師甄選：高中數學科#127406

1. 設 〈a_n〉 為一個實數數列，考慮數列〈a_n〉的前n 項之總和 S_n ，即S_n=a₁+a₂+...+a_n ，其中n ∈N。若S_n=n²+4n-2，則的值為_________。

2. 設 f (x)=(6sin x- 8cos x )✖(12sin x+ 5cos x )，其中0≤x<2π，若 f(x) 的最大值為M ，最小值為m，則數對(M ,m ) 為__________。

3. 如下圖，平面上有26個正六邊形緊密連接，若，其中α,β∈R，則數對(α,β )為__________ 。

4. 如下圖，空間中有一個正八面體，若為_______________。

5. 已知 x>0，x ≠ 1 ，且，則 y 的最小值為　　 　　 ___________。

6. 設複數z= ，其中，若，其中a,b∈R ，， 則數對( a,b ) 為________________。

7. y=sinx+1的圖形與 y= log₁₀x 的圖形共有____________個交點。

8. 若Γ: 為 xy平面上的區域，將繞直線 y=x 旋轉一圈所得的旋轉體體積為　　 　　 ___________ 。

9. 有三個大小相同的袋子 A、B、C，每個袋子都恰有四顆球，袋子 A 中四顆球的編號分別為1,2,3,4，袋子 B 中四顆球的編號分別為1,3,5,7，袋子 C 中四顆球的編號分別為2,4,6,8。甲同學先任選一個袋子，然後 從該袋中取出一顆球，觀察此球的編號後，將此球放回袋中；接下來換乙同學任選一個袋子，然後從袋中取出一球，觀察此球的編號後，將此球放回袋中。已知每個袋子被選取到的機會均相等，而同一袋子 中每顆球被選取到的機會也均相等。若甲同學取到球的編號為a，乙同學取到球的編號為b，則「在a>b的條件下，b =5」的機率為_____________。

10. 有種神奇粒子，每個粒子每經過 1 小時，都會出現下列三種情況之一：
有的機率，這個粒子會變成 2 個；有的機率，這個粒子會維持 1 個；有的機率，這個粒子會消失；
且每個粒子每小時發生的情況均獨立。
現在有 1 個這樣的神奇粒子，則「經過 3 小時後，神奇粒子的數量恰為 5 個」的機率為___________

11. 有隻螞蟻在正立方體 ABCD-EFGH 上移動，「每一步」的移動規則是從一個頂點走稜邊至另一個頂點，且走到相鄰三頂點的機率均等。現在螞蟻從 A點出發，走到最遠的G點即停止，則移動步數的期望值為_________________。

12. 在坐標平面上，有一個△ ABC，其周長為，面積為16，已知 A,B兩點的坐標為 A B (0,0), (4,4)，若C點在第二象限，則C點的坐標為______________________。

(1) 試求 b₄之值。(2 分)

(2) 以n 表示 b_n。(7 分)

(1) 試求 f'(0)之值。(4 分)

(2) 試證明 f (x) 在任意實數c上皆可微分。(5 分)

3. 設b,c,d 皆為實數且d>0，已知三次方程式x³+bx²+cx+d=0的三根為β、 2β² 、 3β³，其中 β 為複數，試求實數b之值。(10 分)