114年 - 114-1 臺北市立中正高中_專任教師甄選試題：數學科#138730

1. 已知空中有一邊長為5√2 的正四面體， A 為此四面體中距離地面的最近的頂點。而其他三個頂點距離地面距離分別為5、6 、7 ，則 A 到地面的距離為_________ 。

2. 計算的值為_________ 。

3. 有一地球儀為半徑 4 公分的球體，其球心為 O 。若地球儀表面上有 A 、 B 兩點，其中點 A 位於東經 60 度北緯 45 度、 點 B 位於西經 30 度南緯 45 度，則沿著地球儀表面從點 A 走到點 B 的最短距離為 _________公分。

4. 某人自製一粒六面體骰子並聲稱此骰子出現奇數與偶數的比例相等。今檢定此骰子出現的比例，並列出前三個步驟如下：

① 假設「此骰子出現奇數與偶數的比例相等」；

② 確立檢定統計量為「此骰子擲 7 次而出現奇數的次數」；

③ 設定顯著水準為0.05 ；

設隨機變數 X 表示出現奇數的次數，求拒絕域為_________ 。

5. 設空間中有兩點 A(-1, -2,5) 、 B(1,5,4) 及一直線，若 P 點為 L 上的一個動點， 當 P 的坐標為 (a,b,c ) 時， 會有最大值 d ，則 (a, b, c, d  ) =_________。

6. ，求 ( a,b ) =_________ 。

7. 平面上，一橢圓 E 的中心為 (0,0) ，且其一焦點為 F(5,0) 。若直線 L 通過 F 並交 E 於 AB, 兩點。 若 AB 的中點為 M (2, -2) ，求橢圓 E 的方程式為 _________。

8. 若方程式 | x²-4x+3 | -a =x 恰有 4 個實根，求實數 a 的範圍為 _________。

9. 在梯形 ABCD 中 且  ﹐ ∠D 90 ，  =12， E 在 上且 ∠ ABE= 45° ， 若 =10 ，試求 的長度為 _________。

10. 設 ω ∈ 、ω ≠1 且ω⁷ = =1 ，計算 (ω^2k+2ω^k+4 ) 的值為_________ 。

二、計算與教學題
1. 若排除以數學軟體或是描點法的方式，如何在不超出課綱規範下，向學生解釋 2 x y = 的函數圖形恆在直線 y x = 上方。

2. 已知實數 x y, 滿足 2xy(x²-y²)=x²+y² ，x≠0，求 x²+y² 的最小值。

3. 已知平面上兩向量 ，且 。 若 f (x)=的最小值為 ，求實數λ。

4. 數列 <a_n > 的前 n 項總和為 S_n ，已知 ，求一般項 a_n  。(整理計算或歸納證明之)。

5. 設 P 為正方形 ABCD 之外接圓上的一點，其滿足 = 75， =100 ，求正方形 ABCD 的面積。

6. 以下是 108 課綱高二社會組數學 B 課程的習作題目，以及甲、乙兩生的作圖與計算過程。 請你想像自己是這門課的老師，批改這兩位學生的作答，並說明：

① 兩位學生的作法有哪些錯誤？假設這兩位學生在下課時同時向你詢問為何錯誤及如何訂正，你會如何簡要說明， 讓社會組數學 B 課程的學生能夠立刻理解？

② 在你的教學經驗中，這類的題目還有哪些計算錯誤的樣態？

習作題目：

   某實驗室以示波器記錄一波在介質中前進時，波隨時間 t （秒）的振動高度 y （公分）如下表。

    將這些資料點繪製於坐標平面上並連結起來，觀察其圖形如下圖，可約略看出此圖形與正弦波類似，因此該實驗室選用 y =a sin( ωt+Φ) +k 的函數來描述這筆觀測資料，其中 a >0 、ω>0 、  − π < Φ≤ π。試求： y= asin(ωt+Φ+)+k 。

     甲生的作圖與計算過程：     

∵最大 = 6，最小 = 2 上移 2 單位，鉛直伸縮 6 倍， ∴a = 6，k = 2。

∵ t = 0 跟 6 重複，週期 T = 6 水平伸縮 倍， ∴ 3 ω = 。 

∵由圖知右移 6 單位， ∴ Φ= −6，∴

     乙生的作圖與計算過程：     

∵最大 = 6，最小 = 2 振幅 = a= 6- 2= 4 

∵上移 4 單位 k = 4

∵過 12 秒數值重複，週期 T = 12

∴ ， ∵過 (0,4) 代入， 0 =sinΦ Φ=0，∴