115年 - 115-1 國立彰化女子高級中學_教師甄選試題：數學科#138761

1：空間中有三向量滿足=√2、=2、=3，且夾角為90°、夾角為120°、夾角為135°，求以三向量所張出平行六面體的頂點中，與O點的距離最大值為________。

2：在邊長為6的正方形ABCD內有兩點P、Q，滿足，求為_____時，有最小值。

3：設符號[x]表示不大於x的最大整數，例如：[π]=3、[2]=2，求的末兩位數字為______。

4：已知Γ：15x² - 2√3xy + 13y² = 144是一個橢圓，則此橢圓的正焦弦長為___________。

5：有一遊戲規則如下：參賽者每獲勝一次時就新增多玩二次的機會，失敗則無法新增。若小花每次獲勝之機率為，失敗的機率為，則小花玩此遊戲時，恰可玩9次之機率為＿＿＿＿＿＿。（化為最簡分數）

6：如下圖有10個半徑均為1的球體，組成一三角堆垛，求能包含此堆垛的長方體中最小體積為________。（不計球體、長方體厚度，長方體可在空間中轉動）

7：連續擲一個骰子，將前n次擲出的點數依次寫在小數點的後面，得到實數aₙ。例如：擲出的點數依序為 5，2，6，…，則a₁=0.5,a₂=0.52,a₃=0.526，…。令pₙ(α)為aₙ≤α的機率，α∈R。試求出α的範圍，使得。

8：f(x)滿足x²f(x) = ，f(0)=0。若x軸與y=f(x)所圍成的區域面積為S(a)，求S(a)的最小值_________。

9：x² - 12y² = 1有一組自然數解(7,2)，請找出任一組非(7,2)的自然數解為________。

10：擲兩枚骰子點數和記為N，將N表示成N=8a+4b+2c+d，其中a，b，c，d∈{0,1}，將a，b，c，d中取值為1的個數記為X，求X的期望值為________。

11：設a∈R，若曲線y=X²⁰²⁶+(X+1)²⁰²⁵-2在(0,-1)處的切線亦為y=ln x+a的切線，求eᵃ的值________。

12：三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對應邊長分別為a、b、c，已知6sinA=4sinB=3sinC，且其內切圓面積為，求其外接圓面積________。

13：將A B C D E F 這6個大寫字母依此順序順時針排成一個環狀，再將abcdef這6個小寫字母放入此環狀中，並要求大小寫字母相間，而Aa、Bb、Cc、Dd這4組字母的大小寫不得相鄰，共有____種可能的放入方式？

14：已知sinα + √3 sinβ = √3，求cos(α+β)的最大值________。

15：已知二次函數f(x)的圖形通過原點，且對於任意實數t都有f(4+t)=f(2-t)，若f(x-108)的最大值為12，則f(x)=____________。

二、計算證明題
1.：彰化女中高二有兩個二類組班級，第一次期中考的數A科目成績表現如下：201班有n₁個學生，算術平均數為μ₁分，標準差為σ₁分；202班有n₂個學生，算術平均數為μ₂分，標準差為σ₂分。若這兩班n₁+n₂個學生這次期中考數A科目的算術平均數為μ_mix分，標準差為σ_mix分︰

請證明：，並說明等號成立的條件。

2.數學老師在數學課時，請同學上台解下列題目：「已知空間坐標系中有A(3 5,4, 3)  、B(2,3,1)兩點，動點 P 在 x 軸上，動點Q 在 y 軸上，求的最小值？」。
某位同學的解題想法如下：「將 A 點轉換成 xy 平面上的點A'(3√5,5,0) ，B 點轉換成 xy 平面上的點B'( √5,3,0)，再使用二維空間的算法：即為『坐標平面上有
A''(3√5,5) 、B''( √5,3) 、x 軸上動點 P’、y 軸上動點 Q’，求的最小值？」。
請說明該位同學解題想法在空間中的幾何意義及可以這樣作的原因，並求出原題目的最小值及 P、Q 座標。

3.：△ABC中，O為外心、G為重心，：

(1)證明：H為△ABC的垂心。

(2)證明：（即尤拉線性質）。

(3)作△A'B'C'使A、B、C分別為中點，證明：H為△A'B'C'的外心，並說明△A'B'C'的垂心所在位置。

4.：請判斷下列敘述：兩個任意週期函數相加亦為週期函數。

如果敘述正確，請證明之。如果敘述錯誤，請舉一個反例，亦請證明之。

5.：f(x)是x的實係數的三次多項式，最高次項的係數為1。方程式f(x)=0有三個相異的根α、β、γ，同時α²、β²、γ²也是f(x)=0的三個相異根。請求出所有符合上述條件的多項式f(x)。

6.：設a, b, c, d∈ℝ，滿足a+2b+c+2d=1，a²+2b²+c²+2d²=2，求a+b的最大值。