所屬科目：二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分
1. 求 \( \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{-\pi}{2} \cdot \tan \frac{3\pi}{4} \)？ (A) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) (B)\(-\frac{1}{2}\)(C) 0 (D)\( \frac{1}{2} \)
2. 下列哪一個函數，在整個數線上含無限多個 不連續 點？ (A) sin ( 2x- 1) (B) tan2 x (C) x cos x (D)\( \frac{3x - 1}{x^2 - 4} \)
3. 下列各函數，何者 沒有 絕對極大值？ (A)\(f(x) = |x^2 - 16|\), \(-5 < x < 5\) (B)\(f(x) = |x^2 - 16|\), \(-4 < x < 4\)(C)\(f(x) = |x^2 - 9|, -5 < x < 5\) (D)\(f(x) = |x^2 - 9|, -4 < x < 4\)
4. 已知 f (−1) =2 ， f (2) =3 ，則函數 f (x) 在區間 [ −1, 2 ] 內的平均變化率為何？ (A) \(-\frac{1}{3}\) (B)\( \frac{1}{3} \) (C) 1 (D) 4
5. 下列各函數，何者為增函數？ (A)\(f(x) = -x^2, x \le 0\)(B)\(f(x) = \sin x, \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}\) (C)\(f(x) = \ln x - x, x \ge 1\) (D)\(f(x) = \frac{1}{x}\)
6. 下列各曲線，何者含凹向下區段？ (A) \(y = \sin x, -\pi \le x \le \pi\) (B) \(y = e^x\) (C)\(y = x^2\) (D)\(y = x^3\), \(x \ge 0\)
7. 下列各函數，何者為 \( \frac{2}{x} \)的反導函數？ (A) 2x (B) \( \ln \sqrt{x} \) (C) \( \ln(x^2+1) \) (D)\( \ln (3x^2) \)
8. 求\( \int \left( 4x^3 + 3x^2 - \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 \right) dx \) =？ (A)\(12x^2 + 6x - \frac{2}{x} + c\) (B)\(12x^2 + 6x - 2\sqrt{x} + c\)(C)\(\frac{4}{3}x^4 + \frac{3}{2}x^3 - x - 4\sqrt{x} + c \)(D)\(x^4 + x^3 - x - 4\sqrt{x} - c\)
9. 若\( \int_{0}^{5} f(x)dx = -5, \int_{5}^{2} f(x)dx = 3 \) ，則 \( \int_{0}^{2} f(x)dx \) =？ (A) − 8 (B) − 2 (C) 2 (D) 8
10. 下列各曲線，何者 沒有 漸近直線？ (A) \( y = x \tan x \) (B)\(y = \frac{\ln x}{x}\) (C) \(y = \frac{x}{e^x}\) (D) \(y = xe^x + \sin x\)
11. 求 \( \int_{0}^{2} 10^{x} dx = \)=？ (A) \( \frac{99}{\ln 10} \) (B)\( \frac{101}{\ln 10} \) (C) 33 (D) 99
12. 設\(f(x) = 1 - 2x + \sec^2 3x\) ，則 \( \int f''(x)dx \)？ (A) \(2\sec 3x \cdot \tan 3x - 2 + c\) (B)\(6 \sec 3x \cdot \tan 3x + c\)(C)\(6\sec^2 3x \cdot \tan 3x + c\)(D)\(6\sec^2 3x \cdot \tan^2 3x + c\)
13. 求 \( \int_{0}^{\pi} (\sin x - \cos x)^2 dx \) ？ (A) 0 (B) \( \frac{2}{3} \) (C)\( \frac{\pi}{3} \) (D) π
14. 求\( \int_{1}^{2} \left( e^{2x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} \right) dx = \) =？ (A)\( -\frac{3}{4} \) (B)\( \frac{3}{4} \)(C)\( \frac{1}{2} (e^4 - e^2 - 1) + 2 \ln 2 \)(D)\(e^4 - e^2 - 1 + 2 \ln 2\)
15. 求 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x + 1)^{4} \sec^{2} x \, dx \)=？ (A) 3.1 (B) π (C) 6.2 (D) 2π
16. 求\( \int_{0}^{\pi} (4x - 3) \sin 2x \, dx = \) ？ (A) − 4π (B) 1− 4π (C) − 2π (D) 1− 2π
17. 以辛普森 ( Simpson ) 法，n = 4，估計\(-\int_{0}^{2} \frac{12x}{x^3+1} dx\)之值 (小數點以下四捨五入)，得： (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
18. 下列各定積分或瑕積分，何者為收斂？ (A)\( \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} \)(B)\( \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x+95} \)(C)\( \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^2+95}} \)(D)\( \int_{0}^{\infty} \frac{x+95}{x^3+1} dx \)
19. 已知圓錐平台 (如圖一) 上下底均為圓，半徑分別為 2 與 5，直立高度為 4，則此圓錐平台 (含上下底) 的總表面積為何？
(A) 64π (B) 65π (C) 66π (D) 67π
20. 設 \(a = \frac{\ln 2005}{2005}, b = \frac{\ln 2006}{2006}, c = \sqrt[2006]{2006}\) ，則 (A) c >a>b (B) c >b>a (C) a >b>c (D) b >a>c
21. 下列各級數，何者一定 不是 交錯級數 ( alternating series )？ (A) \(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots\) (B) \(1+2-3-4+5+6+7-8+\cdots\) (C) \( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots \) (D)\( \frac{1}{1} - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \dots \)
22. 下列有關數列與級數之敘述，何者正確？ (A) 若對任意正整數 n， f () n 均有意義，且\( \lim_{n\to\infty} f(n) = 0 \)，則\( \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \)收斂 (B) 若對任意正整數 n， f (n) 均為正數，則\( \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) 發散 (C) 若r ≠ 1，則\( a + ar + ar^2 + \dots + ar^n + \dots = \frac{a}{1-r} \) (D) 首項不為 0 之無窮等差級數，必發散
23. 已知\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \)，對任意實數x 均成立。欲以此公式，取最少項數， 求sin1的近似值，使誤差小於\( \frac{1}{1000} \)，則sin1的近似值為何？ (A) 0 (B)\(1 - \frac{1}{3!}\) (C)\(1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!}\) (D) 1
24. 曲線\(y = x^2\) 與 \(y = -\frac{1}{4}x^2 + 3\) ，所圍區域的面積為何？ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10
25. 平面上雙曲線: \(x^2 - y^2 = 1\)，直線 y = 2與 y = − 1，所圍區域繞 y 軸旋轉一圈，所得立體 (如圖二) 的體積為何？
(A) 5π (B) 6π (C) 7π (D) 8π
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(A) 64π (B) 65π (C) 66π (D) 67π 
(A) 5π (B) 6π (C) 7π (D) 8π