所屬科目：二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分
1. 函數\(f(x) = \frac{x^3 - 1}{(x^2 + x - 6)(x^2 - 1)}\)在哪些點不連續？ (A) −1,2,3 (B) − 3 ,1,2 (C) −1 , − 3 ,2 (D) −2 ,1,3 的
2. \(\lim_{x \to 3^{-}} \frac{9 - x^2}{|3 - x|} = \) ？ (A) − 6 (B) − 3 (C) 3 (D) 6
3. 設 \(f(x) = \begin{cases} 2cx^2 & , x > 1 \\ x-c & , x < 1 \end{cases}\) 在 x = 1為連續，則c = ？ (A) 0 (B)\( \frac{1}{3} \) (C) \( \frac{1}{2} \) (D) 1
4. 若函數 \(f(x) = -2x^3 + 3x^2\)在區間[ − 5.0 ,2]，下列敘述何者正確？ (A) 臨界點僅有− 5.0 和 2 兩個 (B) f (0.5)−5.0(C) 最小值 = 0 (D) 最大值 = 1
5. 曲線\(y = x^3 - 4\)在點座標( x , y )=(2,4)的切線方程式為下列哪一個方程式？ (A) \(y = -12x - 20\) (B)\(y = 12x - 20\)(C)\(y = -12x + 20\) (D)\(y = 12x + 20\)
6. 若函數 \(f(x) = \frac{x^2 + 2}{x}\)在區間 [a,b]=[ 1,2] 為連續，並且符合均值定理\(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)之條件，則c = ？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2
7. \(f(x) = x^2(x-2)^2\) 為定義在區間 [–2,3] 上的函數，下列敘述何者錯誤？ (A) 函數在[–2,3]是遞減 (B) 函數在[0,1]是遞增 (C) 函數在[0,1]之間的圖形是向上凹 (D) 函數在 x = −2有絕對極大值
8. 找出函數\(f(x) = \sqrt[5]{x^3} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}\) 的反導函數？ (A)\( \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{2}x^2 + C \) (B)\( \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} - \frac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}} + C \) (C)\( \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} - \frac{1}{2} x^{-2} + C \) (D)\( \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C \)
9. 下列積分結果，何者正確？ (A)\( \int \left(-\frac{1}{x^4}\right) dx = \frac{1}{3x^3} + C \) (B)\( \int \left( \frac{1}{2x^3} \right) dx = -\frac{1}{2x^2} + C \) (C)\( \int (x^3 + 2) dx = \frac{1}{2}x^2 + C \) (D)\( \int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = \sqrt{x} + C \)
10.\( \int_{-1}^{1} (x - 3|x|) dx = \) ？ (A) − 3 (B) −1 (C) 0 (D) 2
11.求\( \int_{0}^{3} |x-1| dx \)？ (A) \( \frac{1}{2} \) (B) 1 (C) \( \frac{3}{2} \)(D)\(\frac{5}{2} \)
12.\( y = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{e^x - 1} , y' = \) (A)\(e^x + e^{-3x}\) (B)\(e^{-x} + e^{3x}\) (C)\( \frac{e^{3x} + 2e^{2x} + e^{-x} - 2e^{-2x}}{(e^x - 1)^2} \)(D) \( \frac{e^{3x} - 2e^{2x} - 3e^{-x} - 2e^{-2x}}{(e^x - 1)^2} \)
13.開發中的城市容易帶來工作機會，所以移居進城的人口會有逐年增加之趨勢。若從西元 2000 年 ( t = 0 ) 至 2020 年( t = 20 )，居住於某城市人口增加百分率之函數為\(f(t) = 0.002t + 0.016\ln(t+1)\) ，則可預測西元 2015 年，居住於該城市人口增加百分率的變化率應為多少 ％？ (A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4
14.\(y = \sin^3(2x)\), \(y' = \)? (A) \(6\sin^2 2x\) (B)\(3\sin^2 2x \cos 2x\)(C)\(6\sin^2 2x \cos 2x\) (D)\(3\sin^2 2x\)
15.一般而言，潮汐的漲落是呈現週期性之變化。若某日 ( 0 時至 24 時 ) 從某港口所量測的海水高度，最高潮是 5 公尺，最低潮是 1 公尺，而海水隨著潮汐變化之高度可以\(H(t) = 3 + 2\sin\frac{\pi t}{6}\)表示，其中 t為時間，以每小時為單位。下列敘述何者 錯誤 ？ (A) 在半夜 3 點會發生最高潮 (B) 最低潮僅發生在早上 9 點 (C)\( \frac{dH}{dt} = \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi t}{6} \) (D) 最高潮或最低潮時\( \frac{dH}{dt} = 0 \)
16.\( \int_{0}^{1} x(3+2x^{2}) dx \)？ (A) \( \frac{1}{2} \) (B) \(\frac{3}{2}\) (C) 2 (D)\( \frac{5}{2} \)
17.\( \int \frac{(\ln 2x)^2}{x} dx \) ？ (A) \( \frac{1}{6}(\ln 2x)^3 + C \) (B)\( \frac{1}{3}(\ln 2x)^3 + C \)(C)\( \frac{2}{3}(\ln 2x)^3 + C \) (D)\(\frac{3}{2}(\ln 2x)^3 + C \)
18.下列積分計算結果何者正確？ (A)\( \int (xe^x)dx = xe^x + e^x + C \)(B)\( \int e^x dx = x + e^x + C \) (C)\( \int (x^2 \ln x) dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C \)(D)\( \int (\ln x) dx = \frac{1}{x} + C \)
19.試利用梯形法則(取四等分)，估算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)之近似值，最接近下列何數值？ (A) 0.33333 (B) 0.33455 (C) 0.34375 (D) 0.35125
20.a下列積分式何者 不是 瑕積分？ (A)\( \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx \) (B)\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx \) (C)\( \int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx \) (D)\( \int_{1}^{5} \frac{1}{x^2} dx \)
21.找出包含於曲線 \(y = 4x^2\)及曲線 : \(y = x + 3\)間的面積？ (A)\( \frac{273}{80} \) (B)\( \frac{373}{96} \)(C)\( \frac{473}{96} \)(D)\( \frac{473}{80} \)
22.如圖所示為一美式足球，其形體函數為 \(f(x) = -0.0944x^2 + 3.4, -5.5 \le x \le 5.5\)( x 和 y均以英吋計)，試求該足球體積約為多少立方英吋？
(A) 232 (B) 242 (C) 252 (D) 262
23.下列有關數列\( \{a_n : n = 1, 2, \dots \} \)的敘述何者錯誤？ (A)\(a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n}}\)為發散數列 (B) \(a_n = \frac{3+5n^2}{n^2+n+95}\)為收斂數列 (C)\(a_n = \frac{2n}{5n}\)為收斂數列 (D)\(a_n = \frac{\ln n}{\ln 3n}\)為收斂數列
24.下列級數何者屬於交錯級數？ (A)\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} \) (B)\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3k}{4k^2 + 2} \)(C)\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^k}{k^{10}} \)(D)\( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \)
25.下列敘述何者 錯誤 ？ (A)\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} \)是收斂級數 (B)\( \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} n! \)是發散級數 (C)\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{(\ln n)^n} \)是發散級數 (D)\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \)是收斂級數
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(A) 232 (B) 242 (C) 252 (D) 262