所屬科目：二技統測◆管理類（一）◆(一)微積分
1. 求\( \lim_{x \to 0} e^{|x|} = \)？ (A) 0 (B) 1 (C) e (D) 不存在
2. 求 \( \int_{0}^{1} (x^2 - \sqrt{x}) dx = \)？ (A)\(-\frac{1}{3}\) (B)\(-\frac{1}{6}\) (C)\( \frac{1}{6} \)(D) \( \frac{1}{3} \)
3. 已知合成函數\( (f \circ g)(x) = e^{-\sqrt{x^2+1}} \) ，則下列各式之 \(f(x)\) ，\(g(x)\) ，何者 不符 ？ (A) \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\) ，\(g(x) = -(x^2 + 1)\) (B)\(f(x) = e^{-\sqrt{x}}\) ，\(g(x) = (x^2 + 1)\) (C)\(f(x) = \frac{x}{e}\) ，\(g(x) = e^{1-\sqrt{x^2+1}}\) (D)\(f(x) = \frac{1}{x}\) ，\(g(x) = e^{\sqrt{x^2+1}}\)
4. 設 \(f(x) = \sqrt{2x-1} - 3x\) ，則 \(f(5+h) - f(5) =\)？ (A)\( \sqrt{h} - 3h \)(B)\(\sqrt{h}+h\)(C)\( \sqrt{9+2h-3h-3} \)(D)\( \sqrt{9+h}+h-3 \)
5. 求\( \int_{0}^{4} \sqrt{2x+1} \, dx = \)？ (A) 2 (B) √20 (C)\( \frac{26}{3} \)(D)\( \frac{52}{3} \)
6. 下列哪一個函數為 [ 0 , 2 ] 內的連續函數？ (A)\(e^{-x}\) (B)\( \sqrt{x-2} \)(C)\( \frac{1}{x-1} \)(D)\( \ln(x-2) \)
7. 若曲線 \(y = -x^3 + 3x^2 - 4x + 1\) 上 P 點處，有最大切線斜率，則 P 點處切線方程式為何？ (A)\(x+y=0\)(B) \(4x + y = 1\) (C)\(4x + y = 5\) (D)\(13x + y = -4\)
8. 求曲線\(y = e^{-2x} + x + 4\)在點 ( 0 , 5 ) 的切線斜率為何？ (A) 1− (B) 0 (C) 2 (D) 4
9. 若 f (x) 為可微分函數，下列各式何者 不 是 f ′(x) 的反導函數？ (A)\( \int_{0}^{x} f'(t) dt \)(B)\( \int_{0}^{3} f'(x) dx \)(C) f (x) (D)\(f(x) - \log 2\)
10. 求 \( \int_{0}^{1} x e^{3x^2} dx = \)？ (A)\( \frac{1}{6}e^3 - 1 \)(B)\( \frac{1}{6}e - 1 \)(C)\( \frac{1}{6}(e^3 - 1) \)(D) \( \frac{1}{6}(e-1) \)
11. 求 \( \int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}} dx = \)？ (A) 1− e (B) 1 (C) e (D) \(\sqrt{e^2+1}-\sqrt{2}\)
12. 若生產 x 件商品的製作成本為C(x)，已知C(0)= 0 且其邊際成本函數為 \(3\sqrt{x} + 2\)，則平均 成本函數 \( \frac{C(x)}{x} \)=？ (A)\(2\sqrt{x}+1\)(B)\(2\sqrt{x}+2\)(C) \(3\sqrt{x+1}\) (D)\(3\sqrt{x} + 2\)
13. 若\( g(x) = \int_{x}^{5} (e^{-t^2} + 4t) dt \)，則 g ′(x)=？ (A)\(e^{-x^2} + 4x\)(B)\(2xe^{-x^2} + 2x^2\) (C)\( -e^{-x^2} - 4x \)(D)\( -e^{-x^2} + 4x \)
14. 求\( \frac{d}{dx} (x \ln x - 2x)^2 \)，在 x = 1 處之值為何？ (A) 2 − (B) 0 (C) 2 (D) 4
15. 求\( \int \left( 2\sin 3x - \cos \frac{x}{4} + 1 \right) dx \)=？ (A)\( -6\cos x - \frac{1}{4}\sin x + C \)(B)- \(2\cos 3x + \sin \frac{x}{4} + x + C\)(C)\(-\frac{2}{3}\cos 3x - 4\sin\frac{x}{4} + C\)(D)\(-\frac{2}{3}\cos 3x - 4\sin\frac{x}{4} + x + C\)
16. 求\(\lim_{x\to\pi} \frac{\cos 3x + 1}{(x-\pi)^2} = \)？ (A)\(-\frac{9}{2}\) (B) 1 (C)\( \frac{3}{2} \)(D)\(\frac{9}{2} \)
17. 求\( \int 97^x dx \) =？ (A)\( \frac{97^x}{98} + C \)(B)\( \frac{97^x}{\ln 97} + C \) (C)\( \frac{97^{x+1}}{x+1} + C \) (D) \(97^x \ln 97 + C\)
18. 求 \( \int x^2 \ln x \, dx = \)？ (A)\( \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x}{9} + C \) (B) \( \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C \)(C)\(x \ln x - \frac{x}{3} + C\) (D)\(3x^3 \ln x - x^3 + C\)
19. 求\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \)？ (A)\( \frac{1}{5} \) (B)\( \frac{1}{4} \)(C)\( \frac{1}{3} \)(D) \( \frac{1}{2} \)
20. 求\( \int_{2}^{3} (x-3)^{\frac{-2}{3}} dx = \)？ (A) −3 (B) \( \frac{1}{2} \) (C)\( \frac{3}{2} \) (D) 3
21. 已知原點 O 及點 A ( 1 , 1 )，欲求曲線 y = x3 中 OA 弧線上一點 P ( a , b )，使 △OAP 面積最大，則 \( \frac{a}{b} \) =？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
22. 同上題之圖(一)，其中 B 點坐標為 ( 1 , 0 )，試求曲線 y = x3 與直線 y = x 在第一象限所圍 區域面積，與△OAB 面積的比值為何？ (A)\( \frac{1}{5} \) (B)\( \frac{1}{4} \)(C)\( \frac{1}{3} \) (D)\( \frac{1}{2} \)
23. 下列有關無窮級數的敘述，何者正確？ (A) 不全為 0 的無窮等差級數必發散 (B) 公比小於 1 的無窮等比級數必收歛 (C) 若 \( \lim_{n\to\infty} f(n) = 0 \)，則 \(f(1) + f(2) + \dots + f(n) + \dots\)必收歛 (D) 若 \(f(1) + f(2) + \dots + f(n) + \dots\)收歛，則 \(|f(1)|+|f(2)|+\dots+|f(n)|+\dots\)必收歛
24. 將積分區域等分為 4 段，以中點法求\( \int_{-1}^{1} 10^x dx \)的近似值，結果為下列哪一選項？ (A) 0 (B) \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\frac{3}{10^4}} + \frac{1}{\frac{1}{10^4}} + 10^{\frac{1}{4}} + 10^{\frac{3}{4}} \right) \) (C)\( \frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} + \frac{2}{\sqrt{10}} + 2 + 2\sqrt{10} + 10 \right) \) (D)\( \frac{1}{6} \left( \frac{1}{10} + \frac{4}{\sqrt{10}} + 2 + 4\sqrt{10} + 10 \right) \)
25. 關於連續函數圖形 y = f (x)的反曲點，下列敘述何者正確？ (A) 若\( \lim_{x \to a^+} f''(x) < 0 \) 且\( \lim_{x\to a^{-}} f''(x) < 0 \)，則點 (a , f (a)) 必為反曲點 (B) 若點 (a , f (a)) 為反曲點，則 f ''(a) 必為 0 (C) 若 f ''(a) = 0，則點 (a , f (a)) 必為反曲點 (D) 若 f '(a) = 0 = f ''(a)，則點 (a , f (a)) 必為反曲點
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