98年 - 98 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：數理統計#147979

(i) 試求 \( Z \) 之機率密度函數(p.d.f) \( f \)。

(ii) 試給出 \( f \) 之不連續點之集合。

(iii) 試求 \( Z \) 之期望值。

(iv) 試求 \( U = 1/Z \) 之分佈。

(i) 試給出 $\theta = (\mu, \sigma^2)$ 之一完備充分統計量。

(ii) 試給出 $\sigma$ 之UMVUE $\hat{\sigma}$。

(iii) 試證 $n \to \infty$ 時，$\sqrt{n}(\hat{\sigma} - \sigma) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \sigma^2/2)$。

(iv) 試求 $\lim_{n \to \infty} nVar(\hat{\sigma})$。

3. 設 \( X_1, \cdots, X_n \) 為一組由 \( \mathcal{N}(\theta_1, \theta_3) \) 分佈所產生之隨機樣本，\( Y_1, \cdots, Y_m \) 為一組由 \( \mathcal{N}(\theta_2, \theta_3) \) 分佈所產生之隨機樣本，二組隨機樣本假設為相互獨立。又設 \( \theta_1, \theta_2 \in R, \theta_3 > 0 \) 皆為未知。欲檢定 \( H_0 : \theta_1 = \theta_2 \), vs. \( H_a : \theta_1 \neq \theta_2 \)。在 \( n + m > 2 \) 之假設下，試求概似比檢定(LRT, likelihood ratio test)。

(i) 在給定 $\mathbf{X} = \mathbf{x}$ 下，試求 $\theta$ 之事後分佈。

(ii) 試求 $\theta$ 之一 $(1 - \alpha)$ 貝氏信賴區間。

5. 設 \( \{X_1, \dots, X_n\}, \{Y_1, \dots, Y_m\} \) 為二組獨立的樣本，分別以 \( F_1 \) 及 \( F_2 \) 為其共同的分佈函數。欲檢定 \( H_0 : F_1 = F_2 \), vs. \( H_a : F_1 > F_2 \)。試給出一顯著水準為 \( \alpha \) 之檢定。並說明樣本數較大時，可取何近似的拒絕域。