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91年 - 91 二技統測_光電類_專業科目(二):微積分#144862
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7. 求極限值 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} = ?$
(A) 0
(B) 1
(C) 1
(D) 極限值不存在
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8. 已知 $\lim_{x \to 4} (2x 5) = 3$。若給定 $\varepsilon = 0.1$,試求 $\delta$ 值使得當 $0 < |x 4| < \delta$ 時,不等式 $|(2x 5) 3| < \varepsilon$ 恆成立? (A) $\delta = \varepsilon = 0.1$ (B) $\delta = 2\varepsilon = 0.2$ (C) $\delta = 3\varepsilon = 0.3$ (D) $\delta = \frac{1}{2}\varepsilon = 0.05$
#4038596
9. 設 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{(x^2 + 1)}, & x > 1 \\ \frac{(x + 1)}{(x^2 1)}, & x < 1 \end{cases}$。若要求 f(x) 在 x = 1 處連續,則 k 值應為何? (A) 1 (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$
#4038597
10. 設 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 2 \\ 2x 1, & 1 < x < 2 \end{cases}$。下列敘述何者為真? (A) f(x) 在 x = 2 處不連續 (B) f(x) 在 x = 1 處不連續 (C) f(x) 在 x = 2 與 x = 1 處皆不連續 (D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$,f(x) 皆連續
#4038598
11. 求不定積分 $\int x \sin(2x) dx = ?$ (A) $x \cos(2x) + \sin(2x) + C$ (B) $x \sin(2x) \cos(2x) + C$ (C) $\frac{1}{4}[2x \cos(2x) + \sin(2x)] + C$ (D) $\frac{1}{4}[2x \sin(2x) \cos(2x)] + C$
#4038599
12. 若 $y = x^{\ln x}$,則 $\frac{dy}{dx} = ?$ (A) $(\ln x)x^{\ln x 1}$ (B) $\frac{(2 \ln x)}{x}$ (C) $\frac{(2x^{\ln x})}{x}$ (D) $\frac{2(\ln x)(x^{\ln x})}{x}$
#4038600
13. 若 $F(x) = \sqrt[3]{(1 + x^2)^4}$,求 F'(x) = ? (A) $\frac{4}{3}(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (B) $\frac{8}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (C) $2x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (D) $\frac{2}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$
#4038601
14. 設 $f(x) = \frac{1}{(3 + x)}$,求 \(f^{(n)}(x)\) = ?(其中 n 表示 n 次微分) (A) $\frac{2n}{(3 + x)^{n+1}}$ (B) $\frac{(1)^n(2n)}{(3 + x)^{n+1}}$ (C) $\frac{(1)^n(n!)}{(3 + x)^{n+1}}$ (D) $\frac{(1)^n(n)}{(3 + x)^{n+1}}$
#4038602
15. 設 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x^2, & x < 0 \end{cases}$。下列敘述何者為真? (A) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$,$f'(x) = 2|x|$ (B) f'(x) 在 x=0 處不存在 (C) f''(0) = 0 (D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$,f''(x) = 2
#4038603
16. 設 $f(x) = xe^{x^2}$。若 m, M 分別表示 f(x) 的最小值與最大值,則 m, M 的值應為何? (A) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$ (B) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$ (C) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$ (D) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$
#4038604
17. 設 $f(x) = \frac{2x^2}{x^2+3}$,試求函數 f(x)的水平漸近線? (A) y=0 (B) y=1 (C) y=2 (D) y=3
#4038605
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