91年 - 91 二技統測_光電類_專業科目(二)：微積分#144862

1. 試求不等式：4 < |x1| + |x+2| < 5 的解？ (A) x > 2 (B) x < 3 (C) $\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$ (D) $3 < x < \frac{5}{2}$ 或 $\frac{3}{2} < x < 2$

2. 設 $f(x) = x^2 + cx + 1$。若 f(x)為一偶函數，則 c 值應為何？ (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

3. 兩直線分別以方程式表示為 2x 3y = 1 與 kx + 5y = 2k。若兩直線垂直，則 k值應為何？ (A) $\frac{15}{2}$ (B) $\frac{15}{2}$ (C) $\frac{2}{15}$ (D) $\frac{2}{15}$

4. 求通過曲線 $x^2 + 2xy 3y^2 = 9$ 上一點 (3, 2) 的切線方程式？ (A) y 2 = x 3 (B) y 2 = (x 3) (C) $y 2 = \frac{5}{3}(x 3)$ (D) $y 2 = \frac{3}{5}(x 3)$

5. 設 $f(x) = \begin{cases} 3x, & x \leq 2 \\ cx^2, & x > 2 \end{cases}$。若要極限值 $\lim_{x \to 2} f(x)$ 存在，則 c 值應為何？ (A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{2}$

6. 求極限值 $\lim_{x \to 0} \frac{|x|^5 + x^5}{x} = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 極限值不存在

7. 求極限值 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} = ?$ (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 極限值不存在

8. 已知 $\lim_{x \to 4} (2x 5) = 3$。若給定 $\varepsilon = 0.1$，試求 $\delta$ 值使得當 $0 < |x 4| < \delta$ 時，不等式 $|(2x 5) 3| < \varepsilon$ 恆成立？ (A) $\delta = \varepsilon = 0.1$ (B) $\delta = 2\varepsilon = 0.2$ (C) $\delta = 3\varepsilon = 0.3$ (D) $\delta = \frac{1}{2}\varepsilon = 0.05$

9. 設 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{(x^2 + 1)}, & x > 1 \\ \frac{(x + 1)}{(x^2 1)}, & x < 1 \end{cases}$。若要求 f(x) 在 x = 1 處連續，則 k 值應為何？ (A) 1 (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$

10. 設 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geq 2 \\ 2x 1, & 1 < x < 2 \end{cases}$。下列敘述何者為真？ (A) f(x) 在 x = 2 處不連續 (B) f(x) 在 x = 1 處不連續 (C) f(x) 在 x = 2 與 x = 1 處皆不連續 (D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，f(x) 皆連續

11. 求不定積分 $\int x \sin(2x) dx = ?$ (A) $x \cos(2x) + \sin(2x) + C$ (B) $x \sin(2x) \cos(2x) + C$ (C) $\frac{1}{4}[2x \cos(2x) + \sin(2x)] + C$ (D) $\frac{1}{4}[2x \sin(2x) \cos(2x)] + C$

12. 若 $y = x^{\ln x}$，則 $\frac{dy}{dx} = ?$ (A) $(\ln x)x^{\ln x 1}$ (B) $\frac{(2 \ln x)}{x}$ (C) $\frac{(2x^{\ln x})}{x}$ (D) $\frac{2(\ln x)(x^{\ln x})}{x}$

13. 若 $F(x) = \sqrt[3]{(1 + x^2)^4}$，求 F'(x) = ? (A) $\frac{4}{3}(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (B) $\frac{8}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (C) $2x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$ (D) $\frac{2}{3}x(1 + x^2)^{\frac{1}{3}}$

14. 設 $f(x) = \frac{1}{(3 + x)}$，求 \(f^{(n)}(x)\) = ?(其中 n 表示 n 次微分) (A) $\frac{2n}{(3 + x)^{n+1}}$ (B) $\frac{(1)^n(2n)}{(3 + x)^{n+1}}$ (C) $\frac{(1)^n(n!)}{(3 + x)^{n+1}}$ (D) $\frac{(1)^n(n)}{(3 + x)^{n+1}}$

15. 設 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ x^2, & x < 0 \end{cases}$。下列敘述何者為真？ (A) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，$f'(x) = 2|x|$ (B) f'(x) 在 x=0 處不存在 (C) f''(0) = 0 (D) 對於所有的 $x \in \mathbf{R}$，f''(x) = 2

16. 設 $f(x) = xe^{x^2}$。若 m, M 分別表示 f(x) 的最小值與最大值，則 m, M 的值應為何？ (A) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$ (B) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$ (C) $m = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}, M = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}$ (D) $m = \sqrt{\frac{3}{2}}e^{\frac{3}{2}}, M = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{2}}$

17. 設 $f(x) = \frac{2x^2}{x^2+3}$，試求函數 f(x)的水平漸近線？ (A) y=0 (B) y=1 (C) y=2 (D) y=3

18. 設 $f(x) = 3x^2 5x + 1$，試求介於 2 與 5 之間的一實數 $\xi$ 使得 $f'(\xi) = \frac{f(5) f(2)}{5 2}$ (A) $\xi = \frac{5}{2}$ (B) $\xi = \frac{7}{2}$ (C) $\xi = \frac{9}{2}$ (D) $\xi = \frac{7}{3}$

19. 某個人電腦製造商每月生產並銷售 x 部個人電腦的利潤為 $P(x) = 0.01x^2 + 60x 500$ 元。為了獲得最大的利潤，每月需生產多少部電腦？ (A) 1500 部 (B) 2000 部 (C) 3000 部 (D) 3500 部

20. 求 $f(x) = 3x^2 + 4x 5$ 在區間 [1, 3] 的平均值？ (A) 15 (B) 16 (C) 7.75 (D) 23.75

21. 對於任意自然數 n，求 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \Lambda + \frac{1}{n(n+1)} = ?$ (A) $\frac{n}{(n+1)}$ (B) $\frac{(2n+1)}{(n^2+n)}$ (C) $\frac{2n}{(n+1)}$ (D) $\frac{(n+2)}{(n+1)}$

22. 求定積分 $\int_1^2 \left( \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \right) dx = ?$ (A) $2 \ln 2 + \frac{3}{2}$ (B) $2 \ln 2 + \frac{4}{3}$ (C) $2 \ln 2 + \frac{2}{3}$ (D) $2 \ln 2 + \frac{3}{4}$

23. 求定積分 $\int_0^4 e^{\sqrt{x}} dx = ?$ (A) $\frac{1}{2}(e+2)$ (B) $2(e^2+1)$ (C) $\frac{1}{2}(e^2+1)$ (D) e+2

24. 求在曲線 $y = (x1)e^x$ 之下，由 x=1 至 x=2 所圍成區域的面積？ (A) $e^2$ (B) $\frac{1}{2}e$ (C) 2e (D) e

25. 求 $\int_{1}^2 |x^2 x| dx = ?$ (A) 3 (B) 2 (C) $\frac{11}{6}$ (D) $\frac{4}{3}$