⑴ （10 分）

這兩題都是數位邏輯的基礎題型，分別測驗電路真值表推導與布林代數恆等式證明。以下為詳細解題過程：

一、 數位邏輯電路分析與真值表

根據電路圖，我們將電路拆解為三層邏輯運算：

1. 第一層（輸入為 A, B）：

   • 上方為 NAND 閘：$G_1 = \overline{A \cdot B}$

   • 下方為 NOR 閘：$G_2 = \overline{A + B}$

2. 第二層：

   • XOR 閘，輸入為 $G_1$ 與 $G_2$：$G_3 = G_1 \oplus G_2$

3. 第三層：

   • AND 閘，輸入為 $G_3$ 與 C：最終輸出 $Y = G_3 \cdot C$

【真值表 Truth Table】

【輸出 Y 的結果推導】

由真值表可知，$Y=1$ 的情況發生在 $A \oplus B = 1$ 且 $C=1$ 時。

其簡化後的布林表示式為：

（或寫成 $Y = \bar{A}BC + A\bar{B}C$）

二、 布林代數恆等式證明

題目： 證明 $\overline{AB}(\overline{C+D}) = \bar{A}\bar{C}\bar{D} + \bar{B}\bar{C}\bar{D}$

證明步驟：

1. 左式 (LHS) 展開：

   根據狄摩根定律 (De Morgan's laws)：

   • $\overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$

   • $\overline{C+D} = \bar{C} \cdot \bar{D}$

   代入原式左邊：

   $$LHS = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (\bar{C} \cdot \bar{D})$$

2. 分配律 (Distributive Law) 運算：

   將 $(\bar{C}\bar{D})$ 分配乘入括號內：

   $$LHS = \bar{A} \cdot (\bar{C}\bar{D}) + \bar{B} \cdot (\bar{C}\bar{D})$$
   $$LHS = \bar{A}\bar{C}\bar{D} + \bar{B}\bar{C}\bar{D}$$

3. 結論：

   觀察右式 (RHS)：$RHS = \bar{A}\bar{C}\bar{D} + \bar{B}\bar{C}\bar{D}$

   得證 $LHS = RHS$。

? 考前叮嚀

• 畫圖題： 真值表是數位邏輯的送分題，建議多列出中間過程（如 $G_1, G_2$），以免計算錯誤導致整題失分。

• 證明題： 善用狄摩根定律。看到「長橫線」斷開，記得「改符號」（AND 變 OR，OR 變 AND）。

離 2027 年考試還有時間，這類邏輯門轉換與證明題非常適合拿來穩定信心！加油！