114年 - 114-1 國立彰化女子高級中學_教師甄試試題：數學科#127006

3、(1)

試問極限的值可用下列哪一個定積分表示？ (A) (B)(C) (D)  (E)。

1、已知 x y, 為自然數，若，試求出所有的數對 ( x,y )   。

2、已知過點 (3,0) 且斜率為 m 之直線 L ，和雙曲線 的右半邊圖形交於 A B, 兩點。設 F(2,0) 為雙曲線 Γ 的右焦點，若 = 16 ，則 m 值為_____ 。

3、已知數列 滿足 a₁ = 0， a₂ = 1 且當 n ≥ 3 時， ，試求 之值_____ 。

4、三角錐 O-ABC  中，三稜邊兩兩相互垂直，若 △ABC 面積為 1，則三角錐 O -ABC 的體積最大值為_____ 。

5、已知f(x)x⁴-2x³-9x²+7與 g(x)=x³-4x2-x+3 為兩個整數係數多項式，假設 g(x)=0 的三個相異根分別為 α,β,γ  ， 求 之值_____ 。

6、一橢圓的焦點為 (2,4) 及 (7,11) ，橢圓上一點 P(5,5)，試找出過 P 與橢圓相切的切線方程式為 。

7、 xy 平面上，兩圓 C1: x²+ y²=  1  及 C2:( x-4)²+2=4，動點 P 從 (1,0) 出發沿 C₁ 依逆時針方向運動，同時動點 Q 從 (6,0) 出發沿 C₂ 依逆時針方向運動，若 P 點的角速度為 Q 點的兩倍，則 PQ 的最大值為_____ 。

8、A 有 2 枚公正的硬幣，B 有 1 枚公正的硬幣，兩人進行遊戲，規則如下：

(1)將自己的所有硬幣拋出，正面多的一方取走對方的一枚硬幣。

(2)若雙方的正面數相同，則雙方都不取走對方的硬幣。

上述的動作為一局，當有一方擁有 3 枚硬幣便贏得遊戲(即遊戲結束)，否則就繼續進行下一局。求 A 在前 3 局贏得遊戲的機率為 _____。

9、 P 點位於第三或第四象限，現向y=x²做兩切線，若兩切點的距離為  √12 ，則 P 點的橫坐標限制為_____ 。

10、有一個足夠大的水桶，在 t 秒 (t≥0)時向水桶內注水，注水速度為(+4)cm³ /  秒，此時水桶內的水量為 V (t)cm³ ， 已知  V (0)=100cm³ 。但每當水桶中的水量達120cm³ 時，在注水的同時也以 13cm³ / 秒 的速度讓水流出，且當水桶內 的水量降至 80cm³ 時停止讓水流出(但依舊持續注水)。試問第_____秒時水量會第二次達到 120cm³ 。

11、空間中有一個直四角錐(如下圖)，其中底面 BCDE 為邊長 6 的正方形，且 = 5，若平面 F 滿足到 A、B、C、D、E 五點距離皆相同，這樣的 F 共有 n 個，且滿足此條件的所有平面 F 可圍成另一個多面體，此多面體的體積為 V，求數對(n,V)=__________。

12、 將彰化女中校歌前兩句「巍巍八卦山峨峨彰女中」共有 10 字重新排列，若希望同時滿足以下三條件：

(1)同字不相鄰 (2)「八」、「卦」、「山」三字順序維持 (3)「彰」、「女」、「中」三字順序維持且皆不相鄰， 那麼排列的方法共有________種。

13、設 △ABC 的外心為 O ，滿足 ，則 cos B 的最小值為______。

14、重覆擲一個公正骰子，直到出現第二個 1 點就停止，若 X 表示投擲的總次數，則當機率 P X P(X=k ) 有最大值時， k=_______。

15、(圖 1)中，1+4=5；(圖 2)中，1+4=5、4+9=13、5+13=18；依此類推，每個圖的第 k 列數列為第 k-1 列相鄰兩數之和 所形成的數列，每列比前一列少 1 項，並依此於最後一列得到一個整數。已知(圖 n)中，第一列數列為 1、4、9、16、…、(n+1)²，並依上述規則得到最後一列的整數，則此整數為______________。(以 n 表示)

二、計算證明題

 1、想要求兩個歪斜線與的距離，在現有各版本教材中，通常採用以下兩種方法：

 (法 1)設 P ( -1+2t ,2-2t ,-t ) Q  (3+s ,1-4s ,1+s )  ， 分別與兩直線方向向量內積值為 0，聯立解出 st, 後， 即為兩歪斜線距離。

(法 2)求出包含 L₂ 且平行 L₁ 之平面方程式 E ，則 L₁ 上任一點到平面 E 的距離即為兩歪斜線距離。 現有學生張彰，跟你請教是否有其他可以求出兩歪斜線距離的方法？請向張彰說出異於(法 1)與(法 2)且限於 108 課綱內容的方法，來求出兩個歪斜線 L₁ 與 L₂ 的距離。(1 個方法 4 分，請先簡述想法，再寫出計算過程及解答)

2、 z ∈C 為x⁹++x⁶+7=0的解，試證明： 。

(2)承(1)，請求出此極限值。