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教甄◆數學
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115年 - 115 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選試題：數學科#139603
> 申論題
2. 定積分 \(\int_{-1}^{7}(-2 + \sqrt{-x^2 + 6x + 7})dx\) = ＿＿＿＿＿＿＿＿。
相關申論題
設 a > 0 ，若 xy - 3x + y = 0 ，且 \(a^x = 10^y = 8\) ，則 \(a = ____________\)。
#573127
3. 若實數 a 可以讓複數 \(z = (3a + \cos \theta) + (a - \sin \theta)i\) 滿足：對任意實數 \(\theta, |z| \leq 3\) 均成立，則實數 a 的範圍為 ＿＿＿＿＿＿＿＿。
#573129
4. 對任意實數 x，函數 f(x) 滿足 \(f(x + 2) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}\)，若 f(1) = 2, f(2) = -3，則 \(f(118) = ＿＿＿＿＿＿＿＿\)。
#573130
5. 設 a 為實數，若方程式 (|x + 5| - 1)(x + 2) = a 有三個相異實根，則 a 的範圍為 ＿＿＿＿＿＿＿＿。
#573131
6. 現有15個糖果，甲、乙兩人輪流拿糖果，每次只能拿1個或2個，拿完為止。若由甲先拿，且最後一次也由甲拿完剩餘糖果，則兩人拿糖果過程的可能情形有 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 種。
#573132
7. 設 A, B, C 為平面上三點，若 \(\overline{AB}, \overline{AC} = 2, \overline{BA}, \overline{BC} = 4, \overline{CA}, \overline{CB} = 6\)，則 \(\triangle ABC\) 的面積為＿＿＿＿＿＿＿＿。
#573133
試用兩種高一同學可理解方法證明：\(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)。
#573134
坐標平面上，設 \(A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})\) 為拋物線 \(y = ax^{2}\) 上的相異兩點，且過 A 作此拋物線的切線為 \(L_{1}\)，過 B 作此拋物線的切線為 \(L_{2}\)。若 \(L_{1}\) 和 \(L_{2}\) 交於點 \(P(x_{3},y_{3})\)，試證明 \(x_{3} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)。
#573135
設 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) 是三角形 ABC 的三個內角，證明 \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\)。
#573136
2. 已知 x ∈ R ，證明方程式 10 x + 11 x + 12 x = 13 x + 14 x 恰有一個實數解並求此解。
#572117
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