111年 - 111 學年度市立高級中等學校正式教師聯合甄選：數學科#107359

1. 設數列有21項，其中a₁=1, =15，且滿足=1 ，k＝1,2,…,20。 試問共有幾個滿足此條件的不同數列？ (A) 969 (B) 1140 (C) 1330 (D) 1220

2. 下圖是多項式函數 y=f(x)與 y=g(x) 在區間[−2,2]的圖形，圖中 1＜x₁＜2、−2＜x₂＜−1  、-2＜ x₄ ＜−1 。試問下列哪些敘述是正確的？
  (A)在區間[−2,2]中，若方程式f(x)=k有3個相異實根，則−1 ≤ k ≤ 1 (B)f(x) 一定是3次函數 (C) g(x) 的首項係數一定是正數 (D)在區間[−2,2]中，方程式 f (g(x)) = 0恰有6個實根 (E)在區間[−2,2]中，方程式 g(f(x)) = 0恰有4個實根

3. f(x)為連續函數，已知 f (1) =1 ，f (2) = 2 ，f (3) = 3 ，f (4) = 5 ，f (5) = 8 ，f (6) =13 下列何者是 f (7)可能的值？ (A) 0 (B) 1 (C) 13 (D) 21 (E) 34

4. 設三個非零向量兩兩不平行， 且 。試選出正確的選項。 (A)向量和向量所張出的平行四邊形面積，是向量和向量所張出的 平行四邊形面積的倍 (B)向量和向量所張出的平行四邊形面積，與向量 (1,2,6) 和向量所張出的平行四邊形面積相同 (C)平面a₁x+b₁y+c₁z= 0和平面a₂x+b₂y+c₂z= 0的交線有一方向向量為(3,4,5) (D)平面a₁x+b₁y+c₁z= 1和平面a₂x+b₂y+c₂z= 2的交線有一方向向量為(2,5,1) (E)恰有一組解(x,y,z) = (2,5,1) 

3. 下圖的方塊由5×5×5個小立方體組成，依陰影所標示，分別從上、右、前三個面， 鑿穿過整個方塊，請問剩下多少個小立方體？

5. 三角形ABC內接於一直徑為的圓，D點在上，且 ∠ABD =90° 。已知，試求長。

7. 已知P點在函數上，Q點在函數上，試求 長度的最小值=________。

8. 坐標平面上，圓C：(x−1)²+(y−1)²=1的圓心為C，曲線與圓C交於A、B兩點。 試求cos∠ACB的值=_______。

(1) 試求的值。（4分）

(2) 試求定積分的值。（6分）