115年 - 115 新北市立國民中學_教師聯合甄選試題：數學科#140274

1. 若 $A(1,4)$、$B(6,2)$ 所連接的線段 $\overline{AB}$ 與直線 $L: x - y + 1 = 0$ 相交於 $P$ 點，則 $\frac{\overline{AP}}{\overline{BP}} = ?$ (A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{3}{7}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{3}{5}$

2. 若二次函數 $y = ax^{2} + bx + c$ 的圖形如下圖，則點 $(abc, b^{2} - 4ac)$ 在第幾象限？(A) 第四象限 (B) 第三象限 (C) 第二象限 (D) 第一象限

3. 若有一數列的第 $n$ 項可用 $(n + \sqrt{n})^2$ 表示，則此數列有多少項會介於 $1\sim 1600$ 之間？ (A) $34$ (B) $35$ (C) $39$ (D) $40$

4. $a, b$ 均為有理數，$|a| = a + 3, |a + 3| \cdot b = a - 3$，則 $|a - b| - |a + b| = ?$ (A) $-4$ (B) $-3$ (C) $3$ (D) $4$

5. 現有長度為 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}$ 的線段各一條，試問從中取出三條線段，使其成為三角形之三邊長的取法有多少種？ (A) $4$ (B) $5$ (C) $6$ (D) $7$

6. 有一直圓柱狀的木棍，令將此木棍分成甲、乙兩段直圓柱狀木棍，且甲的高為乙的高的9倍。若甲、乙的表面積分別為 $S_{1}, S_{2}$，甲、乙的體積分別為 $V_{1}, V_{2}$，則下列關係何者正確？ (A) $V_{1} > 9V_{2}$ (B) $V_{1} < 9V_{2}$ (C) $S_{1} > 9S_{2}$ (D) $S_{1} < 9S_{2}$

7. 算式 $2^{2} \times 3^{4} - 7^{2} \times 11 - 42 \times 11$ 之值有多少個相異的質因數？ (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$

8. 有一小數 $0.01001000100001$……，其小數點後每個位數只出現 0 或 1，且小數點後出現第 $n$ 個 1 及其下一個出現 1 的位數間有 $(n + 1)$ 個 0。求該數小數點後第 208 位至第 210 位之數字依序為何？ (A) $0, 0, 0$ (B) $1, 0, 0$ (C) $0, 1, 0$ (D) $0, 0, 1$

9. 小紀打算到遊樂園完整體驗「海盜船」、「雲霄飛車」、「摩天輪」、「碰碰車」、「小火車」與「旋轉木馬」這六樣設施，每玩完一樣設施就接著玩下一樣，且不重複搭乘。由於小安覺得「海盜船」與「雲霄飛車」較為刺激，因此這兩樣設施不會連續搭乘，且所有設施不重複搭乘。試問小安的遊玩行程有幾種安排方式？ (A) $240$ (B) $480$ (C) $560$ (D) $720$

10. 如下圖，四邊形 $ABCD$ 為平行四邊形，$E$ 為 $\overline{BC}$ 上一點，且 $AEFG$ 為長方形，$D$ 在 $\overline{FG}$ 上，若 $\overline{AB} = 10$，$\overline{BC} = 18$，$\angle B = 30^\circ$，$\overline{DG}$：$\overline{DF} = 4:1$，求 $\triangle ADG$ 的面積為何？
(A) 36 (B) $20\sqrt{3}$ (C) $25\sqrt{3}$ (D) 45

11. 如下圖，四邊形 $ABCD$ 中，$E$ 點在 $\overline{BC}$ 上，$\angle AEB = \angle C$，$\angle BAE = \angle DBE$，$\overline{BE} = \overline{CD}$。若 $\angle DAE = 33^\circ$，$\angle ADB - \angle C = 9^\circ$，則 $\angle ABE$ 的度數為何？
(A) 66 (B) 72 (C) 75 (D) 81

12. 若 $n$ 為整數，且 $\frac{1}{n} + \frac{3}{n} + \frac{5}{n} + \ldots + \frac{27}{n}$ 市為整數，則 $n$ 的可能值有幾個？ (A) 9 (B) 10 (C) 18 (D) 20

13. 將自然數 220 的所有正因數（220 除外）相加，即 $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$；將自然數 284 的所有正因數（284 除外）相加，即 $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$。我們稱 220 與 284 為「親和數」。請問自然數 1184 與下列何者也是「親和數」？ (A) 1210 (B) 1120 (C) 1102 (D) 1012

14. 若一元一次方程式 $2k^2 x + k^2 = (1 - k)x + 1$ 無解，則 $4k^3 + k + 1 = ?$ (A) $-4$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $6$

15. $f\left(\frac{2 + x}{2 - x}\right) = 5x, g\left(\frac{2 - x}{2 + x}\right) - x$，則 $f(g\left(-\frac{1}{3}\right)) + g\left(-\frac{1}{3}\right)$ 之值為何？ (A) 10 (B) 5 (C) $\frac{1}{3}$ (D) 3

16. 如下圖，$P$ 為平行四邊形 $ABCD$ 內部一點，$E$ 點在 $\overline{AD}$ 上，連接 $\overline{AP}$、$\overline{BP}$、$\overline{CP}$、$\overline{DE}$、$\overline{BE}$、$\overline{CE}$，此六個線段將四邊形 $ABCD$ 分割成八個區域。圖中每個區域內的整數代表該區域的面積，求圖中甲區域的面積為多少？ (A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6

17. 已知平行四邊形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $\overline{BC}$ 中點，$\overline{AE} = \overline{BD} = 18$，求平行四邊形 $ABCD$ 面積為何？ (A) 180 (B) $108\sqrt{3}$ (C) 108 (D) $90\sqrt{3}$ 

18. 已知一個多項式除以 $(x - 1)$ 餘 2，且除以 $(x - 2)$ 餘 1，試問該多項式有可能是下列何者？ (A) $2026(x - 1)(x - 2) - 2(x - 2) + 1$ (B) $2026(x - 1)(x - 2) - 3(x - 1) + 2$ (C) $2026(x - 1)(x - 2) + (x - 1) + 2$ (D) $2026(x - 1)(x - 2) - (x - 2) + 1$

19. 如圖所示，兩塊大小相同的正六邊形餅乾相黏，有一隻螞蟻在上面爬行，若此正六邊形的邊長為 1，則螞蟻從 $C$ 點出發到 $H$ 點的最短距離為何？
(A) $\sqrt{7}$ (B) $\sqrt{13}$ (C) $\sqrt{10 - 3\sqrt{3}}$ (D) $\sqrt{10 + 3\sqrt{3}}$

20. 已知實數 $x$，$y$ 滿足二元一次聯立不等式 $\left\{ \begin{array}{l} x + y < 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array} \right.$，若 $a = x - y$，則 $a$ 的範圍為何？ (A) $a \geq 2$ (B) $a \leq -2$ (C) $a \leq 2$ (D) $-2 \leq a \leq 2$

21. 試問方程式 $2^{3x + 1} - 17 \cdot 2^{2x} + 2^{x + 3} = 0$ 所有實數群之乘積為下列何者？ (A) $-3$ (B) $-2$ (C) $-1$ (D) 2

22. 已知實數 $a, b$ 滿足條件 $\frac{a + b}{b} + \frac{13}{ab} = \frac{4 - b}{a}$，則 $b - a$ 之值為下列何者？ (A) $-5$ (B) $-3$ (C) $3$ (D) $5$

23. 已知實數 $a, b, c$ 滿足條件 $\frac{a + b}{c} - \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = r$，則滿足這樣條件的所有可能 $r$ 值共有多少個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

24. 計算 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ 之值為下列何者？ (A) $9$ (B) $\sqrt{101} - 1$ (C) $2\sqrt{\frac{101}{2}}$ (D) $10$

25. 如果 $0^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$，則下列何者成立？ (A) $\cot \theta < \sin \theta < \cos \theta$ (B) $\cos \theta < \cot \theta < \sin \theta$ (C) $\sin \theta < \cos \theta < \cot \theta$ (D) $\cos \theta < \sin \theta < \cot \theta$

26. 已知正數 $a, b$ 滿足條件 $\log_9 a = \log_{12} b = \log_{16}(a + b)$，則 $\frac{b}{a}$ 之值為何？ (A) $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ (B) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ (C) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (D) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

27. 設 $a$ 為正整數，如果三個數 10,24 及 $a$ 可構成一個銳角三角形的三邊長，則滿足這樣條件的 $a$ 值共有多少個？ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

28. 設 $\alpha, \beta, p, q, r, s$ 為實數，如果 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 為方程式 $x^{2} - px + q = 0$ 的二根，且 $\cot \alpha$ 和 $\cot \beta$ 為方程式 $x^{2} - rx + s = 0$ 的二根，則 $rs$ 等於下列何者？ (A) $pq$ (B) $\frac{1}{pq}$ (C) $\frac{p}{q^2}$ (D) $\frac{q}{p^2}$

29. 已知實數 $a, b$ 滿足條件 $a^3 = 3ab^2 + 11$ 與 $b^3 = 3a^2b + 2$，則 $a^2 + b^2$ 之值為下列何者？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

30. 已知長方形 $ABCD$ 中，點 $E$ 為邊 $\overline{CD}$ 之中點，點 $F$ 為邊 $\overline{BC}$ 之中點，如果 $\angle AFE = 90^\circ$，且 $\overline{AB} < \overline{BC}$，如圖所示，則 $\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$ 之比值為下列何者？

(A) $\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{3}$ (C) $\frac{4}{3}$ (D) $\frac{3}{2}$

31. 試問下列哪個選項是正確的？ (A) $2^{2026} - 1$ 乘開後其個位數字為 1。 (B) $17^{110} + 3$ 乘開後其個位數字是 6。 (C) $\log_{2026} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{2025} \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \log_{2024} \left(\frac{1}{4}\right) \cdots \log_{16} \left(-\frac{1}{2025}\right) \cdot \log_{26} \left(\frac{1}{2026}\right) = 1$ (D) 同時投擲二個公正的骰子一次，其出現點數和為 7 的機率為 $\frac{1}{6}$。

32. 已知實數 $a, b$ 滿足條件 $3a^2 + 2a - 4 = 0$，及 $b^4 - b^2 - 3 = 0$，則 $\frac{a^2b^4 + 4}{a^2}$ 之值為下列何者？ (A) $-7$ (B) $-5$ (C) $5$ (D) $7$

33. 計算 $\frac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)}$ 之值為下列何者？ (A) 138 (B) 241 (C) 305 (D) 373

34. 等腰直角三角形 $\overline{ABC}$ 中，$\angle C = 90^\circ$，已知 $\overline{AC} = 1$，點 $D$ 為 $\overline{BC}$ 邊之中點，連 $\overline{AD}$，過 $D$ 點，作 $\overline{DE} \perp \overline{AD}$，交斜邊 $\overline{AB}$ 於 $E$ 點，則 $\triangle BDE$ 的面積為下列何者？ (A) $\frac{1}{24}$ (B) $\frac{1}{18}$ (C) $\frac{1}{16}$ (D) $\frac{1}{12}$

35. 已知 $a, b, c$ 皆為整數，如果 $ab + 5 = c, bc + 1 = a, ca + 1 = b$ 成立，則滿足這樣條件的 $(a, b, c)$ 共有幾組解？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

36. 在 $\Delta ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{AC}$，且 $\angle A = 108^\circ$，则 $\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$ 之比值為何？ (A) $\frac{4}{3}$ (B) $\frac{3}{2}$ (C) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ (D) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

37. 已知一袋子裡有 11 顆球，分別編上號碼 $1, 2, 3, \ldots, 10, 11$，令同時隨機取出 6 顆球，每顆被取出的機會相等，若取出的 6 顆球之號碼和為奇數，則其機率為下列何者？ (A) $\frac{115}{231}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{118}{231}$ (D) $\frac{6}{11}$

38. 直角 $\Delta ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$P$ 為 $\Delta ABC$ 內部一點，使得 $\angle APB = \angle APC = \angle CPB$，且 $\overline{PA} = 8$，$\overline{PC} = 6$，如圖所示， 則 $\overline{PB} = ?(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 60

39. 有一數列 $\{a_n\}$，如果 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = a_n + 2n$，其中對所有正整數 $n \geq 1$ 均成立，則 $a_{100}$ 之值為下列何者？ (A) 9900 (B) 9902 (C) 9904 (D) 10102

40. 設 $A = 69^5 + 5 \times 69^4 + 10 \times 69^3 + 10 \times 69^2 + 5 \times 69 + 1$，則 $A$ 之正整數因數共有多少個？ (A) 5 (B) 69 (C) 125 (D) 216