115年 - 115 普通考試_統計：統計學概要#141846

(一)若用最小平方法，以黃金月收益率( X )為自變數，比特幣月收益率 ( Y )為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得= 10 - 2 X ，判定係數為 R ²= 0.36，且已知這 18 個月黃金月平均收益率為 8。請以 Y 為自變數， X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。

(二)續題(一)，若考慮簡單直線迴歸模型 Y_i =β₀ + β₁ X _i +ε_i， i =1,2,...,18，且假 設誤差ε₁ , ε₂ , ..., ε₁₈ 彼此相互獨立且服從平均數為 0，變異數為 σ²之常 態分配，求檢定虛無假設 H₀ : β₁= 0 之 t 檢定統計量之值。

(三)續題(一)，若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數 D_i= -2 X _i 及 E_i = 3Y_i +5，i = 1,2,...,18。請以 D_i 為自變數， E_i 為應變數， 用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。

(一)令變數 R 為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」 。假 設有 n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次 數，分別定義為 R₁ , R₂ ,..., R_n。請利用隨機樣本 R₁ , R₂ ,..., R_n，求出該機器 人能連續穩定運作了 50 次任務而未出錯之下，但在接下來的 2 次任 務內會出錯的條件機率 P[ R ≤ 52 | R≤50] 的動差法估計量(method of moments estimator)。

(二)令變數W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失敗次數」 ，求出W 之期望值。

(一)求樣本標準差 S 之機率密度函數。

(二)求樣本平均數 與樣本標準差 S 之間的共變異數 cov( , S ) 。

(三)求 = 1之下，樣本標準差 S 之條件期望值 E(S | 1) 。

(四)根據歷史數據顯示，該極紫外光曝光機在對每片晶圓進行曝光時，特 定關鍵區域「無微粒缺陷」 (即完全達標合格)的機率為 0.3，且每片 晶圓的檢測結果彼此相互獨立。若該區域出現微粒缺陷，則視為一次 「出錯或失敗」 。工程師為了進行設備耐受度測試，設定曝光機必須直 到累積發生第 2 次「無微粒缺陷」 (合格)時才停止測試。令隨機變數 W 表示在此期間該曝光機所累積的「出錯(失敗)次數」 。請寫出 W 的機率密度函數。

(五)續題(四)，品管團隊關心曝光機的連續穩定運作能力。令隨機變數 R 為 該曝光機檢測「直到第一次發生微粒缺陷(出錯) 」為止，所累積的總 曝光晶圓次數(含出錯的那一次) 。求該曝光機在連續穩定運作了 100 次任務而未出錯的條件下，在接下來的 1 次任務內(即第 101 次)也 不會出錯的條件機率 P[ R > 101| R > 100] 。