109年 - 109 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#145663

1. 假設某公司有三個工廠生產產品的產量比率分別為 30%、30%、40%，各廠產品不合格的比率依序為 1.5%、1.2%、1%，某次在總倉庫中任意抽查產品一個經檢驗為不合格，試問此產品為第一廠產出的機率為何？(10 分)

(i) $P(X \leq x)$(5 分)；

(ii) P(X < Y)(5 分)。

3. 投擲兩均勻子，若點數和為 8 則甲贏。若點數和為 4，則乙贏，且比賽結束，試求甲、乙贏的機率分別為何？(10 分)

4. 在已知該地區中有 20% 的人有吸菸習慣(P(S))，抽菸的人有 9% 的機率有哮喘(P(A|S))，不抽菸的人有 7% 的機率有哮喘($P(A|S^2)$)的前提下。有個人前來門診，發現是哮喘患者，那麼這個人有多大的機率是有抽菸的？(10 分)

5. 已知 $X \sim Bin(100, 0.5)$，請用連續校正與不用校正求 P(X > 60)。(10 分)

 1. 假設 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，在這常態分佈的數據($x_1, x_2, \cdots, x_n$)中，中位數和平均數是一樣的，也都同時等於母體平均數 $\mu$。而且樣本平均數($\bar{X}$)和樣本中位數($\bar{X}$)都是母體平均數的不偏估計量。那麼應該選用中位數還是平均數呢？(請用說明理由)(10 分)

2. 如果 $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$，假設平均數($\mu$)為已知的情形下。試求變異數的最大概似估計量，並證明此估計量是否為 $\sigma^2$ 的不偏估計量。(10 分)

3. 嘉義大學對 8 名新生進行英文能力檢測，分別在入學前和第一學年學期結束時分別進行測驗，其前後成績如下：

試以 $\alpha=0.05$ 之顯著水準，檢定學校新生的英文能力是有顯著性差異？(10 分)

4. 若 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是抽自於常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一組隨機樣本，其中 $\mu$ 是已知的，則試求 $\sigma^2$ 的 98% 信賴區間為何？(10 分)

5. 某廠牌醬油公司想調查在嘉義市有多少戶家庭長期購買其醬油產品，於是隨機抽取 100 戶進行電話訪查，其中計有 30 戶長期購買其醬油產品，試在顯著水準 $\alpha=0.01$ 下，檢定該公司之市場佔有率是否超過 20%？(10 分)