113年 - 113 國立嘉義大學_碩士班(乙組)招生考試試題_應用數學系：機率統計#144169

科目： 研究所、轉學考(插大)◆機率統計 | 年份：113年 | 選擇題數：0 | 申論題數：17

試卷資訊

所屬科目： 研究所、轉學考(插大)◆機率統計

選擇題 (0)

申論題 (17)

國立嘉義大學 113 學年度
應用數學系碩士班(乙組)招生考試試題

科目: 機率統計 (共 100 分)
1. (20 分) 令?與?為兩獨立事件且0 < P(?) < 1和0 < P(?) <
1。
請討論以下事件是否獨立？
(a) ?? 與?
(b) ?? ∩ ? 與 ?
(c) ?? 與? ?
(d) (?? ∩ ?? )與(? ∪ ?)
2. (20 分) 已知兩種品牌電視的壽命服從常態分配且母體變異數
相等。品牌一有 5 個樣品，平均數?̅ = 8.6，樣本變異數??2 = 13.3；
品牌二有 8 個樣品，平均數?̅ = 9，樣本變異數??2 = 8.57。請以
顯著水準α = 0.05檢定，這兩種品牌的電視壽命是否有差異?
3. (10 分) 投擲公正六面骰子一次，令 ? 為隨機變數且
0, 若骰子擲出點數 1, 3, 或 5;
? = {1, 若骰子擲出點數 2, 4;
2, 若骰子擲出點數為 6,
假設獨立投擲骰子兩次，請計算 ?(|?1 − ?2 | = 1)。
4. 令連續型隨機變數 ? 服從以下機率密度函數：
1
, −1 < ? < 2;
?~?? (? ) = {3
0, 其他,
令 ? = ? 2 ，試求：
(a) 隨機變數 ? 的累積密度函數。(5 分)
(b) 隨機變數 ? 的機率密度函數。(5 分)
5. 令連續型隨機變數向量 (?1 , ?2 ) 服從以下聯合機率密度函數：

1
1
, (?1 − 1)2 + (?2 − 1)2 < 1;
(?1 , ?2 )~??1 ,?2 (?1 , ?2 ) = {?
0, 其他,
(a) 分別計算隨機變數 ?1 及 ?2 的邊際機率密度函數。(5 分)
(b) 隨機變數 ?1 及 ?2 是否獨立？須說明原因。(5 分)

[注意] ?0.01 = 2.326，?0.02275 = 2，?0.025 = 1.96，?0.05 = 1.645。
6. 假設 ?? ; ? = 1,2, … , ? 為隨機樣本且服從以下機率質量函
數：
?? ~??? (?? |? ) = ?(?? = ?? )
? −? ? ??
, ?? = 0,1,2, … , 0 < ?;
= { ?? !
0, 其他,
(a) 寫出 ? 的對數概似函數 ? (? ) = ln(?(? |?1 , … , ?? ))。(2 分)
1
(b) 說明 ? 的最大概似估計式為 ?̂ ??? = ∑??=1 ?? = ?̅。(8
?
分)
(c) 請問 ?(?1 = 0) = ? −? 的最大概似估計式為何？(5 分)
7. 某公司宣稱其發售之產品顧客滿意度 (?) 至少 50%。調查結果
顯示，100 位該產品使用者中有 40 位表示滿意。站在不信任
該公司的立場，你要以假設檢定檢驗其聲名，請問：
(a) 基於調查結果，請對該產品顧客滿意度提出一合理點估計
結果 ?̂ 。(2 分)
(b) 寫出上述立場的虛無假設 (?0 ) 與對立假設 (?1 )。(3 分)
(c) 在顯著水準 ? 之下，請寫出對應之拒絕域。(5 分)
(d) 當 ? = 0.05 時，結論為何？(5 分)

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