115年 - 115 中區縣市政府教師甄選策略聯盟_國中：數學科#140432

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：50 | 申論題數：0

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (50)

1. 已知x,y,z皆為實數,滿足x+y+z=3,且x-y=1。試問x²+y²+z²的最小值為何? (A) 3 (B)(C) 4 (D)

2. 已知有二個實根,求這二個實根的和為 (A) -6 (B) 4 (C) 2 (D) -2

3. 某校數學科辦公室有一條規定:「如果今天下午有召開教學研討會,則所有數學老師都不能請假。」若已知此敘述為真,則下列哪一個敘述必為真? (A)若今天下午所有數學老師都沒請假,則今天下午一定有召開教學研討會 (B)若今天下午沒有召開教學研討會,則數學老師們可以請假 (C)若今天下午有一位數學老師請假了,則今天下午一定沒有召開教學研討會 (D)只有在召開教學研討會時,數學老師才不能請假

4. 甲、乙、丙三人中有一人打破教室窗戶,老師詢問三人是誰打破,三人分別做以下回答:甲說「是乙打破的」,乙說「是丙打破的」,丙說「乙在說謊」。若已知三人中恰有一人說實話,則打破教室窗戶的人是哪位? (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)無法判斷

5. 滿足絕對值不等式|x+5|+|x-3|≤12的整數x共有幾個? (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 15

6. 設 f(x) 為一個實係數多項式,且f(x)除以x-1的餘式為3,除以x-2的餘式為5,求f(x)除以(x-1)(x-2)的餘式。 (A) 2x+1 (B) 2x-1 (C) x+2 (D) 3x-1

7. 設x,y為正實數, 2x+3y=12,求x2y3的最大值。 (A) 72 (B) 32 (C)(D)

8. 求方程式log₂(4-x²) - log₂x=3的實數解個數。 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

9. 求(1+x²)²(1+x)¹⁰的展開式中,x4項係數。 (A) 255 (B) 300 (C) 301 (D) 302

10. 將5本不同的書全部分給甲、乙、丙三人,每人至少得一本,共有幾種分法? (A) 243 (B) 540 (C) 125 (D) 150

11. 若 f(x)=sint ds,則f'(1)= (A) 0 (B) sin1 (C) 2sin1 (D) -sin1

12. 設a∈R,若空間中兩直線L₁: 與 L₂: 交於一點,求a的值。 (A) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2

13. 袋中有4白球、3黑球,從中取球,每次取一球,取後不放回,直到黑球取完為止。求黑球比白球先取完的機率。 (A) 1 (B)1/2(C)3/7 (D)4/7

14. △ABC滿足sinA:sinB:sinC=3:5:7,其外接圓半徑與內切圓半徑的比值為\frac{14}{3},且其周長為30,求此三角形面積。 (A) 15\sqrt{3} (B) 12\sqrt{3} (C) 30\sqrt{3} (D) 24

15. 設x∈R,求sin²x - 4sinx + 5 的最小值。 (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 10
16. 橢圓 $3x^2+2y^2+xy=8$, 在 $(0,2)$ 的切線斜率為
(A) $-\frac{1}{4}$
(B) $4$
(C) $-4$
(D) $-2$
17. $(G,,e)$ 若是代數中的一個群，$$ 是其中的二元運算，$e$ 是運算的單位元 (identity)，下列何者不一定對？
(A) 任意 $a \in G$，一定存在 $b \in G$ 使得 $ab=ba=e$
(B) 若 $a,b \in G$，則 $ab=ba$
(C) 若 $a,b,c \in G$，則 $(ab)c = a(bc)$
(D) 若 $a,b \in G$ 且 $ab=e$，則 $ba=e$
18. 考慮複數平面，若 $i$ 是虛數， $\sum_{k=0}^{\infty}(1+i)^{2k}z^{k}$ 收斂半徑是
(A) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $2$
(D) $\sqrt{2}$
19. 下列何者是微分方程式 $y'=2xy^2, y(1)=1$ 的解？
(A) $\frac{1}{2-x^2}$
(B) $-x^2+2$
(C) $x^2-2$
(D) $\frac{1}{x}$
20. 複數 $z1,z2$ 滿足 $|z1|=2, |z2|=3, \text{Arg}(z1)-\text{Arg}(z2)=120^\circ$, 求 $|z1+z2|$。
(A) $\sqrt{19}$
(B) $\sqrt{13}$
(C) $\sqrt{7}$
(D) $5$
21. 設數列 $\{an\}$ 滿足 $a1=1$, 當 $n \ge 1, a{n+1} = \frac{1}{2}an+3$, 求最小 $n$ 使得 $|a_n-6|<10^{-3}$。
(A) $13$
(B) $14$
(C) $15$
(D) $16$
22. 求 $\sum_{n=1}^{4} \sin\frac{n\pi}{3}\cos\frac{n\pi}{4}$ 的值。
(A) $0$
(B) $\frac{\sqrt{6}}{4}$
(C) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(D) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{4}$
23. 設 $a,b \in \mathbb{R}$, 方程式 $x^3+x^2+ax+b=0$ 其三根在複數平面上形成一個三角形的三頂點, 此三角形面積為 $24$, 已知此方程式的其中一根為 $5$, 求 $a+b$。
(A) $-98$
(B) $98$
(C) $102$
(D) $-102$
24. 已知五位數 $32a18$ 可被 $9$ 整除, 求 $a$ 的值。
(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$
25. 求 $23^5$ 除以 $5$ 的餘數。
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
26. 設 $n \in \mathbb{N}$, $n$ 除以 $5$ 的餘數為 $2$, 除以 $7$ 的餘數為 $3$, 求 $n$ 除以 $35$ 的餘數。
(A) $5$
(B) $10$
(C) $17$
(D) $31$
27. 設 $n \in \mathbb{Z}$, 且 $\frac{3n+2}{2n-1} \in \mathbb{Z}$, 求所有可能的 $n$ 的總和。
(A) $-4$
(B) $-2$
(C) $4$
(D) $2$
28. 求小於等於 $2026$ 且與 $2026$ 互質的正整數個數。
(A) $1011$
(B) $1012$
(C) $1013$
(D) $2025$
29. 設 $a,b \in \mathbb{N}$, 且存在正整數 $q1,q2,q3,r1,r2$, 使得 $a=bq1+r1, b=r1q2+r2, r1=r2q_3$, 下列何者為 $a,b$ 的最大公因數？
(A) $r_1$
(B) $r_2$
(C) $0$
(D) $93$ (此選項的數字與上下文不符，若為錯字，請自行更正)
30. 關於 $100!=1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 100$, 下列何者正確？
(A) $100!$ 的末尾連續出現 $20$ 個 $0$
(B) 若 $100!$ 能被 $3^k$ 整除，則整數 $k$ 的最大值為 $33$
(C) $100!+1$ 的質因數必大於 $100$
(D) $100!$ 為完全平方數
31. 已知矩陣 A=(\begin{smallmatrix}2&1\\ 4&3\end{smallmatrix}), 求A^{4}-5A^{3}+3A^{2}+7A^{0}。
(A) (\begin{smallmatrix}10&12\\ 48&22\end{smallmatrix})
(B) (\begin{smallmatrix}22&11\\ 44&31\end{smallmatrix})
(C) (\begin{smallmatrix}24&12\\ 48&36\end{smallmatrix})
(D) (\begin{smallmatrix}22&12\\ 48&34\end{smallmatrix})
32. 設n為正整數,V為所有 n\times n 實矩陣所構成的向量空間, W=\{A\in V|A^{T}=A\} 為V的子空間,求W的維度。
(A)n^{2}
(B) \frac{n(n-1)}{2}
(C) \frac{n(n+1)}{2}
(D) n
33. 設A為一個3×2階的矩陣,B為一個2×3階的矩陣,且AB=(\begin{smallmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{smallmatrix}),下列何者為真?
(A) tr(BA)=2
(B) det(AB)=1
(C)A是可逆矩陣
(D) BA為零矩陣
34. 求\int_{0}^{\pi/2}sin^{3}x~cos~x~dx的值。
(A) 1
(B) \frac{1}{2}
(C) \frac{1}{4}
(D) 0
35. 已知平面一曲線的參數方程式 x=e^{t},y=t^{2}, 求此曲線在t=2時的二階導數 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} 。
(A) 2e^{-2}
(B) -2e^{-2}
(C) -2e
(D) 0
36. 設A表曲線 y=\sqrt{x}、x軸以及x=4所圍成的封閉區域,求A繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體體積。
(A) 2π
(B) 4π
(C) 6π
(D) 8π
37. 求極限 lim{n\rightarrow\infty}(\sum{i=1}^{n}\frac{2(n+2i)^{3}}{n^{4}})。
(A) 10
(B) 20
(C) 40
(D) 80
38. 設f(x)=\int_{0}^{sin~x}e^{-t^{2}+1}dt,求f^{\prime}(0) 。
(A) e
(B) e^{2}
(C) 0
(D) 1
39. 已知矩陣A=(\begin{smallmatrix}2&1\\ 0&2\end{smallmatrix}),求A^{10}=(\begin{smallmatrix}a{11}&a{12}\\ a{21}&a{22}\end{smallmatrix}),則a_{12}為何?
(A) 5120
(B) 1
(C) 10
(D) 1024
40. 設k,r∈R,下列對於x,y,z的三元一次方程組 \{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x+2y+3z=2 \\ 2x+3y+kz=r \end{array},何者正確?
(A)當k=4且r=3時,方程組無解
(B)當k=4且r=5時,方程組恰有一解
(C)當k=4且r=3時,方程式所代表的空間中三平面交於一直線
(D)當k=4且r=5時,方程式所代表的空間中三平面中,兩個平行,另一個與這兩個分別交於一直線
41. 已知線性變換T: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2} 定義為 T(x,y)=A(\begin{smallmatrix}x\\ y\end{smallmatrix}),其中A為一個二階實方陣。下面敘述何者正確?
(A)當 A=(\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix})時,T為以原點為對稱中心的點對稱變換
(B)當 A=(\begin{smallmatrix}3/5&4/5\\ -4/5&3/5\end{smallmatrix})時,T為以原點為中心的旋轉變換
(C)當 A=(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&0\end{smallmatrix})時,T 為對y軸做投影的投影變換
(D)當 A=(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix})時,T為以y軸為對稱軸的線對稱變換
42. 設4(x-5)^{4}+(x-1)^{4}=196 有二個實根,求這二個實根的和為
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
43. 設平面參數曲線 r(t)=(t², (2/3)t³)。試問此曲線在區間[0,1]上的弧長為何?
(A) √2-1
(B) (2/3)(2√2-1)
(C) (1/2)(2√2-1)
(D) (2/3)(√2-1)
44. 求 2¹⁰³ 除以 101 的餘數。
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
45. 試問 ∫₀^∞ (x / (1+x⁴)) dx 為何?
(A) π/8
(B) π/4
(C) π/2
(D) 1
46. 設 f(x, y, z) = x²y + yz。試問在點(1,-1,2)沿方向 (2/3, 1/3, 2/3) 的方向導數為何?
(A) -3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
47. 設函數 f(x,y)= { (x²y / (x⁴+y²)), (x,y)≠(0,0) ; 0, (x,y)=(0,0) }。下列何者正確?
(A) f 在(0,0)的兩個偏導數都存在,但在(0,0)不連續
(B) f 在(0,0)連續,但不可微
(C) f 在(0,0)的所有方向導數都存在,所以在(0,0)可微
(D) ∂f/∂y (0,0) 不存在
48. 設 V 是 5 維實向量空間。已知線性算子 T: V → V 滿足 T² = 3T 以及 tr(T) = 6。試問 T 的零空間之維度 dim Ker (T) 為何?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
49. 試問 ∫₀¹ (x²+2x) / (x³+x²+1) dx 為何?
(A) ln2
(B) ln3
(C) 2ln2
(D) 1
50. 求重積分 ∫₀¹ ∫_y¹ e^(x²) dxdy 的值。
(A) 1-e
(B) e-1
(C) (1/2)(e-1)
(D) (1/2)e

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