115年 - 115 -1 國立南科國際實驗高級中學_教師甄選試題：高中數學科#140146

1. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為方程式 \(\left(\log x\right)\left(\log 5x\right)\left(\log \frac{x}{6}\right) - \left(\log 3x\right)^{2} + 2 = 0\) 的三根，則三根積 \(\alpha\beta\gamma =\) ______。

2. 平面上有兩點 A(1,4)，B(3,2)，若點 P(x,y) 在以 \(\overline{AB}\) 為直徑之圓上移動，則 xy - 3x - 2y 之最大值為____。

3. 方程式 \(\sin x - 3\cos x = k\) 在 \(0 \leq x \leq \pi\) 的範圍內有兩個相異的實數解，則實數 k 的最大範圍為____。

4. 正項等比數列 \(\{a_n\}\) 滿足 \(a_2 = 2, a_6 = \frac{1}{8}\)，求 \(a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{99}a_{100}\) 的和 = _____。

5. 若一封信不知寄自 TENNESSEE 或 MISSISSIPPI，但郵戳上恰有兩連續字母可認清，則在已知此兩字母是 SS 的條件下，此信寄自 MISSISSIPPI 的機率為____。

6. 已知橫圓：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)(a > b > 0)。直線 L 為過橫圓上一點的切線，若橫圓的焦點 \(F_1, F_2\) 到 L 的垂足分別為 M, N，求 \(|F_1M| \cdot |F_2N|\) 的值(以 a, b 表示)____。

7. 如圖，一長方體 ABCD - EFGH，若直線 \(\overline{BC}\)：\(\frac{x + 6}{1} = \frac{y - 5}{-1} = \frac{z + 4}{-2}\)， 直線 \(\overline{FH}\)：\(\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 1}{1}\)，點 H(2, -3.1)，則長方體 ABCD - EFGH 的體積為____。 

8. 有十個數 a, b, c, d, e, f, 8, 11, 12, 17。若此十個數的平均數與 a, b, c, d, e, f 六個數的平均數相等，且兩組數的變異數也相等(變異數採用平均平方差定義)，求此變異數為____。

9. \(\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n}{n^2} + \frac{n}{(n + 2)^2} + \frac{n}{(n + 4)^2} + \frac{n}{(n + 6)^2} + \dots + \frac{n}{(3n - 2)^2} \right] =\) ______。

10. 設 n 為正整數，且 \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{119}{2160}\)，求 n = ______。

11. 設 t 為實數，直線 \(L_t\)：\((3\cos t)x + (5\sin t)y = 15\)。若 f(t) 表示原點 (0,0) 到直線 \(L_t\) 的距離，求 f(t) 的最小值為____。

12. 已知 n 與 \(\sqrt{113 \times 115 \times 117 \times 119 \times 121 + n}\) 皆為正整數，則 n 的最小值為____。

13. 有一個依順時針方向依序標示1,2,...,12數字的圓形時鐘(如圖)。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：

(I)若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動5個鐘點。

(II)若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動5個鐘點。 例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。 對任一正整數 n，令隨機變數 \(X_n\) 代表依上述規則經過 n 次移動後棋子所在的點鐘位置，則 \((X_{10} - 7)\) 的期望值為______。 

14. 高斯記號 [x] 表示不大於 x 的最大整數，若正實數 a 滿足 \(\frac{1}{2} \times [a^2 + a] = 19a + 99\)，則 a =______。

 (附註：\(\sqrt{540} \approx 23.2379, \sqrt{541} \approx 23.2594, \sqrt{542} \approx 23.2809\))

 1. 設 \(a, b, c, d \geq 0\)，求 \(\frac{16d}{a + b + c} + \frac{25c}{a + b + d} + \frac{36b}{a + c + d} + \frac{49a}{b + c + d}\) 的最小值。

2. 設 \(0 \leq \theta < 2\pi\)。考慮曲線 \((4 - 2\sin \theta)x^{2} - (3\cos \theta)y = 0\) 與直線 y = 3x 兩者有兩個交點(本題中重合也算兩個交點)。求使這兩交點間距離最大的 \(\theta\)。

3. \(\triangle ABC\) 中 I 為內心，內切圓半徑為 r，\(\overline{BC} = a, \overline{CA} = b, \overline{AB} = c, \overline{AI} = x, \overline{BI} = y, \overline{CI} = z, s = \frac{a + b + c}{2}\)，試證明：abcr = xyzs。