109年 - [無官方正解]109 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_財務金融學系：統計學#146125

1. 如果人口分佈偏向右側，則從該人口中隨機抽取樣本，可以預期 (A)中位數大於平均值。 (B)模式等於平均值。 (C)中位數將小於平均值。 (D)中位數將等於平均值。

2. 泊松(Poisson)分佈的兩個特徵或假設是 (A)成功的機率在每個試驗之間保持不變，並且感興趣的隨機變數是連續的。 (B)在任何間隔中發生的事件獨立於在任何其他不重疊間隔中發生的事件，並且感興趣的隨機 變數是連續的。 (C)在任何間隔中發生的事件獨立於在任何其他不重疊間隔中發生的事件，並且感興趣的隨機 變數是離散的。 (D)在任何間隔中發生的事件取決於在任何其他不重疊間隔中發生的事件，並且感興趣的隨機 變數是連續的。

3. 描述事件連續發生之間的時間或間隔的機率分佈是________機率分配。 (A)二項式 (B)均勻 (C)指數 (D)常態

4. 假設某產業中的公司本益比(price-to-earnings ratio)服從常態分佈。在該產業中，標準常態變 數值(standard normal variable value)為 z = 1 的公司本益比 (A)高於該產業平均水平。 (B)低於該產業平均水平。 (C)等於該產業的平均公司本益比。 (D)可能高於該產業平均水平，也可能低於該產業平均水平。

5. 從平均數為 50 且標準差為 5 的母體中抽取 36 個觀察值的隨機樣本，則樣本平均數 ?̅ 的抽樣 分佈 (A)無法確定 (B)向左偏斜 (C)近似於常態 (D)向右偏斜

6. 信賴區間的寬度為： (A)99％的信賴區間較 95％的信賴區間窄。 (B)樣本大小為 100 的信賴區間較樣本大小為 50 的信賴區間更寬。 (C) 90％的信賴區間較 95％的信賴區間窄。 (D)樣本標準偏差較小時，信賴區間較寬。

7. 隨著統計檢驗的型 II 誤差 β 的增加，檢定力 (A)增加 (B)減少 (C)保持不變 (D)隨機變動

8.從兩個常態分佈母體中選擇的兩個獨立樣本的變異數分別為 \( \sigma_1^2 \) 與 \( \sigma_2^2 \)，其觀察值數目分別為 \( n_1 = 10 \) 與 \( n_2 = 15 \)。當我們要檢定此兩個母體變異數是否相等時，F 分配的自由度為

(A) 10 和 15
(B) 11 和 16
(C) 9 和 14
(D) 8 和 13

9. 以下哪一項不是單一因子變異數分析的假設？ (A)從每個群體中隨機選擇樣本 (B)各群體變異數相等 (C)各群體平均數相等 (D)從每個群體選擇的樣本均具有常態分佈

10. 在卡方檢定中，虛無假設中假設各類別的機率相等稱之為卡方檢定中的 (A)適合性檢定 (B)統計獨立性檢定 (C)常態性檢定 (D)齊一性檢定

11. 在簡單迴歸分析中，如果相關係數為正值，則 (A) y 截距也必須為正值。 (B)取決於斜率的值，判定係數可以為正也可以為負。 (C)最小平方迴歸方程式可以具有正斜率或負斜率。 (D)迴歸線的斜率也必須為正。

12. 下列何者不是莖葉圖(stem-and-leaf display)的優點： (A)提供原始數值及其取得條件。 (B)便利閱讀。 (C)容易讀出各分組的百分比。 (D)較容易製作，就算有數值遺漏或重複，可立即補足或刪除，不必重新繪製。

13. 設生男生女之機率各為 1/2，且互相獨立。某夫婦生了 3 個小孩，則恰是 1 男 2 女的機率是： (A)1/8 (B)1/4 (C)3/8 (D)1/2

14. 假設鑽探 1 口井會發現天然氣之機率為 0.24，而且每次鑽探之結果互為「獨立」。今欲求算鑽 探少於 5 次就會發現第 1 口天然氣井的機率。這個問題中的隨機變數具有什麼機率分配？ (A)二項分配 (B)負二項分配 (C)幾何分配 (D)泊松(Poisson)分配

15. 給定一連續隨機變數下，其機率密度函數下的面積為： (A)等於此連續隨機變數的平均數 (B)依不同機率密度函數而定 (C)等於 1.00 (D)不能判斷

16. 抽樣分配係指下列何者的機率分配？ (A)樣本統計量 (B)母體統計量 (C)樣本參數 (D)母體參數

17. 就統計學上的公正而言，下列何種抽樣方法較佳？ (A)非機率抽樣 (B)簡單隨機抽樣 (C)立意抽樣 (D)配額抽樣

18. 設有一組資料 2, 3, 7, 8, 9, 9, 11，則其平均數、中位數與眾數關係為： (A)平均數＜中位數＜眾數 (B)平均數＞中位數＞眾數 (C)中位數＜平均數＜眾數 (D)中位數＞平均數＞眾數

19. 設 A 與 B 表示同一隨機實驗之任兩個事件，則下列敘述何者正確？
(A)若 P(A∩B)=0，則事件 A 與 B 為獨立事件。
(B)若 P(A∩B)=P( A )P( B )，P(B∩C)=P( B )P( C )，P(A∩C)=P( A )P( C )，則事件A、B、C為獨立事件。
(C)若 A 與 B 為獨立事件，則 P(B|A)=P(A|B)。
(D) P( A )=P(A∩B)+P(A∩BC)，BC 為 B 之補集。

20.設 \( X, Y, Z \) 的機率分布分別是標準常態 \( N(0,1) \)，自由度 20 的 \( t \) 分布，自由度 50 的 \( t \) 分布。若 \( C_X, C_Y, C_Z \) 分別使得 \( P(X < C_X) = 0.95 \)，\( P(Y < C_Y) = 0.95 \)，\( P(Z < C_Z) = 0.95 \)，則下列敘述何者正確？

(A) \( C_X < C_Y < C_Z \)
(B) \( C_X < C_Z < C_Y \)
(C) \( C_Y < C_Z < C_X \)
(D) \( C_Z < C_Y < C_X \)

21.取常態母體 \( N(\mu, \sigma^2) \) 的隨機樣本 \( \{X_1, ..., X_n\} \) 與 \( \{Y_1, ..., Y_n\} \)，令 \( \bar{X} \)、\( \bar{Y} \) 分別表示變數 \( X \)、變數 \( Y \) 的樣本平均數，\( S_x^2 \) 與 \( S_y^2 \) 為他們的樣本變異數。則下列敘述何者正確？

(1) \( (n-1) S_x^2 / \sigma^2 \) 是 \( \chi^2 \) 分配
(2) \( S_x^2 / S_y^2 \) 是 F 分配
(3) \( S_y^2 / S_x^2 \) 是 F 分配
(4) \( S_y^2 / S_x^2 \) 不是 F 分配

(A) (1)
(B) (1)(4)
(C) (1)(2)(3)
(D) (2)(3)

22.設獨立隨機變數 \( X_1, X_2 \) 係抽樣自某母體，其期望值是 \( \mu \)，變異數是 \( \sigma^2 < \infty \)。令 \( \hat{\mu}_1 = (X_1 + X_2)/2 \)，\( \hat{\mu}_2 = (X_1 + 2X_2)/3 \)，則下列何者正確？

(1) \( \hat{\mu}_2 \) 是 \( \mu \) 的不偏估計量
(2) 做為 \( \mu \) 的估計量，\( \hat{\mu}_1 \) 比 \( \hat{\mu}_2 \) 有效
(3) 做為 \( \mu \) 的估計量，\( \hat{\mu}_2 \) 比 \( \hat{\mu}_1 \) 有效

(A) (1)
(B) (1)(2)
(C) (1)(3)
(D) 三者皆不對

23. 一假設檢定的 p-值(p-value)是： (A)虛無假設(null hypothesis)會被否決的最小 α 值 (B)虛無假設(null hypothesis)會被否決的最大 α 值 (C)虛無假設(null hypothesis)不會被否決的最小 α 值 (D)虛無假設(null hypothesis)不會被否決的最大 α 值

24.複迴歸分析中，考慮其模型為 \( Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \varepsilon \)，若求得的 \( \beta_1 \) 估計量為正值，但 \( Y \) 與 \( X_1 \) 的簡單相關係數為負值，問造成此一現象的較可能原因為何？

(A)計算有錯誤
(B)高度共線性
(C)應減少解釋變數 \( X_i \) 的個數
(D) \( X_1 \) 對 \( Y \) 無真正的解釋能力，應自模型剔除

25.若 \( Y \) 為迴歸分析中的反應變數 (response variable)，\( \bar{Y} \) 為其平均數，\( \hat{Y} \) 為對應的配適值 (fitted value)。最小平方法估計意指為何？

(A) \( \sum(Y - \hat{Y})^2 = 0 \)
(B) \( \sum(Y - \hat{Y})^2 \) 極大化
(C) \( \sum(Y - \hat{Y})^2 \) 極小化
(D) \( \sum(Y - \bar{Y})^2 \) 極小化

二、有三群羊，每群有四隻，不同群的羊使用不同的方法飼養，經過半年後，牠們的體重分別如下（單位公斤）。假設 \( \mu_i \) 表第 \( i \) 群羊的平均體重，\( i=1,2,3 \)。試問在顯著水準 \( \alpha = 5\% \) 下，不同的飼養方式是否對羊群體重有顯著影響？（\( \sum \sum x_{ij}^2 = 178,293 \)，\( \sum x_{1j} = 461 \)，\( \sum x_{2j} = 491 \)，\( \sum x_{3j} = 507 \)，\( F_{0.05}(2,9) = 4.26 \)，\( F_{0.025}(2,9) = 5.71 \)，\( F_{0.05}(3,9) = 3.86 \)，\( F_{0.025}(3,9) = 5.08 \)）（10 分）

三、某位教師想利用修課學生之高中數學成績來預測他們微積分期末考分數。下表為 10 位修課學生之成績，其中 \( X \) 表示其高中時數學成績、\( Y \) 表示其微積分期末考分數，試以這些資料求其最小平方迴歸線？（\( \sum x = 683 \)，\( \sum y = 813 \)，\( \sum x^2 = 47,405 \)，\( \sum y^2 = 66,731 \)，\( \sum xy = 56,089 \)）（8 分）

四、令 \( X \) 表示一種 52 克裝的糖果包裝重量（克），假設各包裝重量分配相同且彼此獨立，\( X \sim N(\mu, 2^2) \)。以下是 10 個糖果包裝淨重，請求出 \( \mu \) 的 95% 雙尾信賴區間。（\( \sum x = 568 \)，\( Z_{0.05} = 1.645 \)，\( Z_{0.025} = 1.96 \)，\( t_{0.05}(10) = 1.812 \)，\( t_{0.05}(9) = 1.833 \)，\( t_{0.025}(10) = 2.228 \)，\( t_{0.025}(9) = 2.262 \)）（8 分）

五、若隨機變數 \( X \) 服從試驗次數 100 次、每次成功機率為 0.1 的二項分配 \( \text{Bin}(100, 0.1) \)，請利用中央極限定理，求 \( P(12 \leq X \leq 15) \) 的近似值？（\( \Phi \) 是標準常態分配的累積密度函數，\( \Phi(0.5) = 0.6915 \)，\( \Phi(0.67) = 0.7486 \)，\( \Phi(1.67) = 0.9525 \)，\( \Phi(1.83) = 0.9664 \)）（8 分）

求 (a) \( \text{Pr}(X_1 = 2, X_2 = 3) \) (4 分)

(b) \( \Pr(X_1 + X_2 = 1) \) (4 分)

(註：若 \( X \) 服從泊松分配，其機率質量函數為 \( f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \cdots \) )

七、若 A、B 為樣本空間之兩個事件，已知 \( P(A) = 0.8 \)，\( P(B) = 0.5 \)，且 \( P(A \cup B) = 0.9 \)，請問 A 與 B 是否為獨立事件？（8 分）